1. 8人參加象棋循環賽,規定勝局得 2 分,和局各得 1 分,輸 1 局得 0 分.比賽結果,第二名得分與最後四名得分總和相同,那麼第二名得幾分?
答： 12
最後四名相互比賽 6 局(真正比賽局數多於 6 ),得分總和 12 分,故最後四名得分總和大於 12 分,可見第二名得分大於 12.第二名賽 7 局,最多得 14 分.他的得分可為 12,13 或 14.若得 14,則他是第一名.若 13 分,則他與第一名和局,應並列第一.所以第二名得 12 分.
2. A,B,C,D,E 表示五所學校圖書館擁有書籍的藏書量.已A > B > C > D > E,而 A 的藏書量比其他四個的藏書量的總和的一半少 2006 本.那麼 A 的藏書量最少有幾本?
答： 2011
A + 2006 = [(B + C + D + E)/2] < [(A - 1) + (A - 2) + (A - 3) + (A - 4)]/2
A + 2006 = [(B + C + D + E)/2] < [(A - 1) + (A - 2) + (A - 3) + (A - 4)]/2
得 2A > 4012 + 10
A > 2011
3. n 人參加為期k天的體育活動比賽.每天活動比賽結束後,各参賽者的得分都不相同,分別是1,2,3,………,n 分. k 天活動結束後,人們發現每個參賽者累積的得分都是 26 分,而 k 是 n 的因子.請問 n 等於多少?
答：
26 n = k (1 + 2 + 3 + …… + n) = k n (n + 1)/2
52 = 4 x 13 = k (n + 1),可知 k = 4,n = 12
4. A,B,C,D,E,F,G,H 八人參加一次數學考試,其中六人的得分列於下表.這次考試滿分為 100.已知八人的平均得分為 64,F的得分是八人中最高者,而且是其他七人中某人得分的兩倍.問 F 得幾分?
答：
| A | B | C | D | E | F | G | H |
| 74 | 48 | | 90 | 33 | | 60 | 78 |
C + F = 8 x 64 - (74 + 48 + 90 + 33 + 60 + 78) = 129
F 得分最高,故 F > 90. F = 2 x 48 = 96
5. 某參關團根據下列約束條件,從 A,B,C,D,E 五個地方選定參觀地點.
(1) 若去 A,則必去 B
(2) D,E 兩地至少去一地
(3) B,C 兩地只去一地
(4) C,D 兩地都去或都不去
(5) 若去 E 則 A,D 兩地都必須去
根據以上條件,該參關團最多能去哪幾各地方?
答：
若去 A,則必去 B(1),不去 C(3),不去 D(4),去 E(2),去 A, D(5),矛盾.
故不去 A.
若去 B,則不去 C(3),不去 D(4),去 E(2),去 A,D,矛盾
故不去 B.
若去 C,則去 D(4)
若去 D,則去 C(4)
若去 E,則去 A,D(5),矛盾
觀光團去了 C,D.
6. 象棋比賽有奇數個選手參加,每一位選手都與其它選手賽一局.計分方法是:
勝者得 1 分,和局各得 0.5 分,輸則得 0 分.已知其中兩名選手共得 8 分,其他選手的平均分為整數.請問有多少名選手參加比賽?
答：
設 x + 2 名選手參加比賽.
共賽 (x + 1)(x + 2)/2 局,故所有選手的總得分為 (x + 1)(x + 2)/2.
設其中 x 名選手平均得分為 k, k是整數.故
(x + 1)(x + 2)/2 = 8 + kx
x2+ (3 - 2k)x = 14 = 1 x 14 =2 x 7
推得 x = 1 或 7 (因 x 是奇數). x = 1, k = -5 不合題意.
x = 7,k = 4.共 9 名選手參賽.
7. 某小學六年級有 13 個課外活動小組,每組人數如下表:
組別 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 十三
人數 2 3 5 7 9 10 11 14 13 17 21 22 24
一天下午學校同時舉辦航海,航空兩個知識講座.已知有 12 個小組去聽講座,其中聽航海知識講座的人數是聽航空知識講座人數的 6 倍,還剩下一個小組在教室裡討論問題.請問這一組是第幾組?
答：
總人數 158 人.參加講座的人數是 7 的倍數.
158 = 22 x 7 + 4 = (去的12班人數和)+(不去那班人數)
= 7x + (不去那班人數)
可見(不去那班人數)被 7 除餘 4.
知第七組留在課室.
8. 從左到右編號 1 到 5 的房子排成一列.所有房子的外觀和顏色都不一樣,所有的屋主來自不同的國家,並養不同的寵物,喝不同的飲料,抽不同的香菸.已知:
(1) 英國人住在紅色的房屋
(2) 瑞典人養了一隻狗
(3) 丹麥人喝茶
(4) 綠色的房子緊鄰白色的房子,且在白色房子的左邊
(5) 綠色房屋的屋主喝咖啡
(6) 抽Pall Mall香菸的屋主養鳥
(7) 黃色屋主抽Dunhill
(8) 位於最中間的屋主喝牛奶
(9) 挪威人住在1號屋
(10)抽Blend的人住在養貓人家的隔壁
(11)養馬的屋主隔壁住抽Dunhill的人家
(12)德國人抽Prince
(13)挪威人住在藍色房子的隔壁
(14)抽Blue Master的屋主喝啤酒
(15)只喝開水的人住在抽Blend的隔壁.
請問谁養魚?
答： 德国人
9. (PLK 1998) 某一次數學測驗後,班上 25 位同學都瞄了老師的成積册一眼,每一位同學都留意倒有 5 個甲等成積,沒有一個學生看到全部的成積,也沒有學生看到他或她自已的成積.請問最少有多少位同學獲的甲等?
答： 6
設 A 看到 B,C,D,E,F 是甲等, B 看到另外 5 個人得甲等,不包括 B 自已,故至少 6 人得甲等.
10. (PLK 1998) A,B,C,D,E 五人玩一個遊戲,每個人都需要扮演獅子或山羊.獅子總是說謊,山羊總是說實話.
A說:B不是山羊
B說:C不是山羊
C說:D是獅子
D說:E與A是不同的動物
E說:A不是獅子
請問谁扮演獅子?
答：B,D
11. (PLK 1998) 共有三位學生參加運動比賽,比賽至少有兩個項目,每位學生都需參加所有的項目.每一個項目,第二名學生得分比第三名多,比第一名少,且得分都是正整數.每一項目給分方式都相同.比賽結束時,三名學生的總分分別是 5,9 及 16 分.請問每一項比賽第一名的得分是多少?
答： 7
比賽項目數 x (1,2,3名得分和）= 5 + 9 + 16 = 30
因 (1,2,3名得分和) ≥ 6, 比賽項目數 ≤ 5.
針對比賽項目數 = 2,3,5 討論.
若比賽項目為兩項: 1,2,3 名得分和 = 15,得分 16 的學生必得兩個第一.故第一名得 8分, 2,3 名得分和 15.因另兩位學生得分為奇數,應各得一個第二,一個第三,兩人同分,矛盾.
若比賽項目為三項: 1,2,3 名得分和 = 10.因有學生得 16 分,第一名得分為 6 或 7.若第一名得分為 6,則該學生得分為 16 = 6 + 6 + 4,既第二名或第三名得分為 4.這與1,2,3 名得分和 = 10 矛盾,故第一名得分 7, 2,3 名得分和為3. 16 = 7 + 7 + 2,
9 = 7 + 1 + 1, 5 = 1 + 2 + 2.合乎給定條件.第一名得分 7.
若比賽項目為五項: 1,2,3 名得分和 = 6.既使五項全得第一,也不能得 16 分,矛盾.
12. (PLK 1999) 有五位婦女圍繞一圓形桌子晚餐.A 太太坐在 B 小姐與 C 小姐中間, u 坐在x 和 D 小姐之間, B 小姐坐在 u 和 y 之間, E 太太坐在 z 的左邊(其中 A,B,C,D,E 是姓氏的縮寫 x,y,z,u 是名字簡稱.請問 x,y,z,u 分別是 A,B,C,D,E 中的哪位?
答：由條件知 D ≠ u, D ≠ x, E ≠ z, B ≠ u, B ≠ y, ,及下面兩種可能:
因 B 坐在 u 和 y 之間, A = u 或 y.若 A = u,這與 u 坐在 x 與 D 之間矛盾.
故 A = y.B 坐在 u 和 y 之間, u 坐在 x 和 D 之間,得下圖.
可見 E = u,而 E 坐在 z 的左邊,右邊的圖是錯的.得
A = y, B = x, E = u,D = z
13. (PLK 1999) 有一位老師同時告訴 A,B,C,D,E 五位同學一個三位數n.之後有以下的對話發生:
學生A : 這個數可以被 27 整除
學生B : 這個數可以被 11 整除
學生C : 這個三位數的所有數碼和為 15
學生D : 這個數是一個完全平方數
學生E : 這個數可以整除 648000
上述五句話中,只有三句真話,求 n.
答： 324
A,C, 必有一假,因為被 27 整除,就能被 9 整除,其數碼和必被 9 整除,與 C 相矛盾. B, E 也必有一假,因為 11 整除 n, n 整除 648000,則 11 整除 648000,矛盾.故 D 為真話.C 為假話.
若 E 為假,則 A,B,D 為真.這可導出n被 112 及 27 整除, n > 1000,矛盾.
故 E 真 B 假.
真話為 A,D,E.
648000 = 25 x 34 x 52 .因 n 是三位數,可推得 n = 324.
14. (PLK 2010) 有 A,B,C,D 四位小朋友針對一個數做了以下的敘述:
A 說 : 這個數是 91
B 說 : 這個數是個質數
C 說 : 這個數是個偶數
D 說 : 這個數是 87
已知 A,B 兩人恰有一人講的話是真的,且 C,D 兩人也恰有一人講真話.請問這個數是什麼?
答：
若 A 講的是真的,則 C,D 講的全錯,與給定條件矛盾.故 B 說真話.所以 C 真話,此數是質數,且是偶數,它等於 2
15. (PLK 2010) 某次數學測驗有 25 道題,每答對一題得 4 分,每答錯一題倒扣 1 分,沒作答得題目得 0 分.已知小明在此次測驗得 68 分,且至少答錯一題.問他共答錯幾題?
答：
68 = 4 x 17,知小明至少答對 17 題,且答錯題數是 4 的倍數.每答對一題,可抵消答錯 4 題的扣分.得他答對 18 題,答錯 4 題, 3 題沒回答.
16. (PLK 2010) 有九張紙鈔,面值各為 1 元, 5 元, 10 元及 50 元.每種不同的紙鈔至少有一張.已知這九張紙鈔共值 177 元.請問面值 10 元的紙鈔共有幾張?
答： 1
因每種不同的紙鈔至少有一張,得五張紙鈔面值共 111 元（= 177 - 66）,問其中有幾張面值為 10 元的紙鈔.
因面值共 111,且只有五張紙鈔,得其中面值 1 元者 1 張.
推得四張紙鈔共值 110 元.易得 110 = 5 + 5 + 50 + 50.
這九張紙鈔中,僅有一張面值 10 元.
16. (PLK 2000) 20 位小朋友按照自己的喜好將三種品牌的巧克力 A, B 及 C 排序,並沒有任何小朋友棄權不排.現在知道有 11 位小朋友的排序是 B 在 C 之前, 14 位小朋友的排序是 C 在 A 之前, 12 位小朋友的排序是 A 在 B 之前,而且已知 A, B, C 的各種可能排序都有被選到.請問有多少位小朋友將 A 排在第一位?
共有六種排序法:
ABC ACB BAC BCA CAB CBA 總人數
a b c 11
c q r 14
a s q 12
得方程式
a + b + c = 11
c + q + r = 14
a + s + q = 12
a + b + c + s + q + r = 20
前三個方程式相加得
2a + 2c + 2q + b + s + r = 37
既, a + c + q = 17
故, b + s + r = 3
因每種排序都有人選,b = s = r = 1.代入前三個式子得 a = 4.共有 5 人把 A 排第一.
17. (PLK 2000) 有四位運動員一起共進午餐,其中 A, B 是女士, P, Q 為男士.四人中有一人士曲棍球選手,一人是足求選手,一人是網球選手,一人是保齡球選手.他們都同坐在一個正方形桌子.已知網球選手坐在 A 的左邊,足球選手與 P 相對而坐. B 及 Q 則相鄰而坐,坐在曲棍球選手左邊的是一位女士.請問保齡球及網球選手分別是哪位?
答：
如下圖: 網球選手坐在 A 的左邊
A 是足球選手,則如圖 P 在 A 的對面
這樣, B, Q 無法相鄰而坐,矛盾.故 A 不是足球選手.因 P 與足球選手相對,得
因曲棍球選手左邊是位女士,得
P 是網球選手, A 是保齡球選手
18. (PLK 2001) 老師告訴學生 A 一個整數 p, 告訴學生 B 一個整數 q, 告訴學生 C 一個整數r,學生們彼此之間不知道別人的數字,但他們都知道 p + q + r = 14.
以下是他們依序的陳述:
A 說 : 我能判斷出 B 和 C 的數字是相異的
B 說 : 我能判斷出我們三人的數字都是相異的
C 說 : 現在我能判斷出我們三人的數各別是多少了.
請問這三各數的乘積是多少?
答：
因 p + q + r = 14 是偶數, p 必是奇數, A 才能判斷 q, r 相異
B 說 p, q, r 都相異,可見 q 也是奇數(才能說 p, r 相異).
因 p, q 都是奇數, q 必不小於 7 (才能確定 p, q 相異).
故 q = 7,9,11; p = 1,3,5而 r = 2,4,6. C 掌握這些資料.
若r = 2,则（p, q) 可能為 (1,11),(3,9),(7,5), C 無法確定三個數
若r = 4,则（p, q) 可能為 (3,7),(1,9), C 無法確定三個數
若r = 6,则（p, q) 只能為 (1,7), 故 C 能確定三個數
得p = 1,q = 7,r = 6. pqr = 42
19. 將一枝鉛筆,一枝原子筆及一個橡皮擦分別放入 A, B, C 三位女生的筆盒中.每個筆盒只能放一種文具,且三個筆盒所放的文具都不一樣.下列三個敘述中,一句真,兩具假,請問哪一句為真?
答：
(1) A 中放的是鉛筆
(2) B 中沒有鉛筆
(3) C 中沒有橡皮擦
若 A 真,則 B 也真,得兩句真,矛盾,故 A 假.
若 B 真,則因 A 假, A, B 中都無鉛筆,可知鉛筆必在 C 中,故 C 也真,矛盾.
故 C 真.
20. 某人上下班可乘汽車或火車.若他早上上班乘火車則下午下班乘汽車;又若他下午回家乘火車,則當天早上他是乘汽車的.某段日期他乘火車 9 次,早上乘汽車 8 次,下午乘汽車 15 次.問這段時期共有幾天?
由條件知,不會有早上下午都乘火車的情形.如圖:設這段期共 x 天.
可知 2x = 15 + 8 + a + b = 32
x = 16
21. 一位婦女,她的兄弟,兒子,女兒都是棋手.最弱的棋手的孿生者(也是四位
棋手之一)和最強的棋手為異性.而最強與最弱的棋手恰好同年齡.請問谁是最弱的棋手?
答：
注意到最強與最弱棋手同性別.故不可能為女性,因母女不會同年齡.
最弱棋手可以是她兄弟或她兒子
22. 一張卡上寫了四個命題:
這張卡上恰有一個命題是假的
這張卡上恰有兩個命題是假的
這張卡上恰有三個命題是假的
這張卡上恰有四個命題是假的
問,這四個命題中,哪個是真的?
答：
若第一命題為真,則其她三個命題為假.但第一命題為真表示其他三個命題為真,矛盾.
若第二命題為真,則四個命題中有兩真兩假.除了第二命題為真外,另一特為真的命題不管是第一,第三或第四命題,都是矛盾.同理討論知只有第三命題是真的.
23. 某一天的不同時刻,老闆把信交給秘書打字.每次都將信放在秘書信推的上面,秘書有時間就把信堆最上方的信拿來打字.假定共有5封信,且老闆是按照 1,2,3,4,5 的順序交來.下面幾個順序中,哪一個不可能是秘書打信的順序?
答： 12345, 24351, 32415, 45231, 54321
24. 一次數學比賽中, B, D 得分和與 A, C 得分和相等.若將 B, C 得分互換,則 A, C 得分和超過 B, D 得分和.此外還知 D 得分比 B, C 得分和還多.假定所有得都是非負的,請由高至底,排定 A, B, C, D 的得分順序.
答：
B + D = A + C (1)
A + B > C + D (2)
D > B + C (3)
由(1),(2)知
(B + D) + (A + B) > (A + C) + (C + D)
故, B > C, 代入(1)得 A + C = B + D > C + D 知 A > D
由(3), D > B > C
得分順序為 ADBC
25. (PLK 2000) 下課時,五位同學 A,B,C,D,E 有一人打破一個杯子.當老師質問他門時,以下是祂們的回答:
A 說 : 是 B 或 C 打破的
B 說 : 不是我也不是 E 做的
C 說 : A 和 B 都說謊
D 說 : A 和 B 中只有一個人說真話
E 說 : D 沒說真話
老師知道他門之中有三人從不說謊,而另外兩人則一直說謊.請問是谁打破杯子?
答：
若 C 說真話,則 A , B 都說謊.故 C, D, E 都說真話.但注意到 D 說的與 C 對立,
故 D 不能為真,矛盾.由此知, C 說謊.又注意到 D 的與 E 的對立,必有一假. u 所以說謊者是 C, D 或 C, E. 故 A, B 都說真話.由此知, C 打破杯子.
26. (PLK 2006) 某次測驗共有是非題 100 題.題號是4的倍數的標準答案為”是”,其他題的答案則是”否”.某位考生作答的情況為:題號為3的倍數的題目答”是”,其他題目都答:”否”.問這位學生答對多少題?
答：
3 與 4 的最小公倍數是 12.故該生依序每 12 道題答案正確的順序相同.
如下表:
| 題號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 學生答案 | 否 | 否 | 是 | 否 | 否 | 是 | 否 | 否 | 是 | 否 | 否 | 是 |
| 標準答案 | 否 | 否 | 否 | 是 | 否 | 否 | 否 | 是 | 否 | 否 | 否 | 是 |
前 12 題,該生答對 7 題. 100 = 12 x 8 + 4, 知他共答對 7 x 8 + 2 = 58題.
27.
关于题目26：
ReplyDelete1-100里有（100/3=)33个3的倍数，(100/4=)24个4的倍数。
3的倍数和4的倍数里却共同包含(100/8=)8个12的倍数（同时是3的倍数也是4的倍数）。
33道题号为3倍数的题目里，除了8道题号为12倍数的题目外，其余的题目该考生都答错了。（把“非”答成“是”）
24道题号为4倍数的题目里，除了8道题号为12倍数的题目外，其余的题目该考生都答错了。（把“是”答成“非”）
因此，这些题号为“3倍数” 或 “4倍数” 的题目里，只有8道题（题号为12倍数，即同时是3倍数也是4倍数）是答对的。
另外，1-100题里，共有 （100-33-24+8=）51道题号不是3的倍数也不是4的倍数。这51道题，该考生都答对了（答“非”）
故1-100里，该考生共有 （8+51=）59道题是对的。
【以上纯属分享意见。如有错误，请指点】
100/4 = 25 个 4 的倍数，不是 24 个 4 的倍数
ReplyDelete所以，1-100 题里，共有 100 - 33 - 35 + 8 = 50 题不是 3 的倍数也不是 4 的倍数的。这 50 题，考生都答对了（答“非”）
所以，该考生共有 8 + 50 = 58 题是对的