數與整除性2

9.    (PLK 2002) 有一個整數 p,將它除以 5 餘數為 3; 將它除以 8 餘數為 5; 將它除以 13 餘數為 11.若 p > 1000,請問 p 最大是多少? 

    答：

p = 5t + 3, p = 8s + 5, p = 13u + 11

5t + 3 = 8s + 5,

得 t = (8s + 2) = s + (3s + 2) .
          5              5

知 (3s + 2) 是整數,令其為 L,則
      5

3s + 2 = 5L,

故s = (5L – 2) = L – 1 + (2L + 1) .
          3                    3

(2L + 1) 是整數,令其為 m,得 3m = 2L + 1,
    3

L = (3m – 1)  = m + (m - 1) . 
        2               2

(m - 1) 是整數,令其為 n,則 m = 2n + 1.
   2

故,L = (3m – 1)  = (6n + 2) = 3n + 1, 
           2            2

s = (5L – 2) = (15n + 3) = 5n + 1, 
        3           3

t = (8s + 2) = (40n + 10) = 8n + 2, 
       5            5

p = 5(8n + 2) + 3 = 40n + 13.

40n + 13 = 13u + 11,

得u = (40n + 2) = 3n + (n + 2) ,
         13              13

知(n + 2) 是整數,令其為 a,
     13

则 n + 2 = 13a,既 n = 13a - 2,

故 p = 40(13a - 2) + 13 = 520a - 67

因p < 1000,其最大值为 p = 520x2 - 67 = 973

10.    (PLK 2002) 有兩個正整數相差 3,其平方和是 117.求這兩個數.

    答：

(a-b) = 3, 117 = a² + b²,

得 (a+b)² = a² + b² + 2ab = 117 + 2ab.

又 9 = (a - b)² = a² + b² – 2ab = 117 – 2ab, 

推得 2ab = 108,

故 (a+b)² = 117 + 108 = 225,

得 a + b = 15.這與 a - b = 3 解得 a = 9, b = 6.

11.    (PLK 2002) 將兩位數 ab 連續寫五遍得 ababab,例如: 525252. 

    若每一個這種形態的數都可被正整數 p 整除,問 p 最大可以是多少?

    答：

ababab = ab x 10101,知 p = 10101 x k.因 k 必需整除所有的 ab,得 k = 1.

故 p 最大是10101.

12.    (PLK 2002) 請問 1 x 2 x 3 x 4 x … x 99 x 100 所得的乘積末尾有幾個連續的 0 ?

    答：

10 = 2 x 5,只需觀察 1 x 2 x 3 x 4 x … x 99 x 100 中有多少對 (2,5).

 這其中有 [100 ÷ 5] + [100 ÷ 25] = 24 個5,

 [100 ÷ 2] + [100 ÷ 4] + [100 ÷ 8] + [100 ÷ 16] + [100 ÷ 32]

 = 50 + 25 + 12 + 6 + 3 = 96 個2

  故乘積中有 24 個連續的0