Tuesday, 11 September 2012

最小公倍數


1.     (PLK 1997) 小明生病了,醫生囑咐他每 8 小時服用一次 A ,5 小時服用一次 B ,10 小時 服用一次 C .如果小明在星期二上午 7 點第一次同時服用這三種藥,請問他再星期幾的幾點第次同時服用這三種藥?
    答:(星期三晚11.)
    5,8,10 的最小公倍數是 40,40 小時後第二次同時服用這三種藥.既星期三晚 11 .

2.  (PLK 1998) 小王要把 3 類厚度分別是 30 mm,24 mm, 18 mm 的一堆書整理一下,他只將厚度相同的書分疊成高度一樣的三疊,但盡量使書的高度愈低愈好.請問如此整理,他共用了幾本書?
    答:
    30,24,18 的最小公倍數是 360.  
    共用書 (360 ÷ 30) + (360 ÷ 24) + (360 ÷ 18) = 47
3.  (PLK 1999) 若整數 N 能被 90,98,882 所整除,但它不能被 50,270,686,1764 所整除.已知 N 也是 9261000 的因子,請問 N 的值是什麼?
答:

90 = 2 x 32 x 5, 98 = 2 x 72, 882 = 2 x 32 x 72
的最小公倍數是 4410, N 4410 = 2 x 32 x 5 x 72 的倍數.
9261000 = 23 x 33 x 53 x 73,N
整除 9261000, N 的質因數為 2,3,5,7.
推得
N = 2a x 3b x 5c x 7d,1 ≤  a ≤  3, 2 ≤  b 3, 1 c3, 2 d 3.
N
不能被 50 = 2 x 52 整除, c = 1,
N
不能被 270 = 2 x 33 x 5 整除, b = 2
N
不能被 686 = 2 x 73 整除, d = 1
N
不能被 1764 = 22 x 32 x 72 整除, a = 1
   N = 2 x 32 x 5 x 72 = 4410
4.  (PLK 2000) 一個盒子內有 4000 6000 顆糖果.如果將這些糖果平均分給 5,6,7,8 9 位小朋友,都會剩餘 1 .現在要將這些糖果重新包裝(每包不超過 4000 ),使得每包糖果數一樣且沒有剩餘.請問每包中最多幾顆糖果?
答:

糖果數減 1 5,6,7,8,9 的最小公倍數 2520 的倍數.因糖果數介於 4000 6000 之間,得糖果數為 5041. 5041 = 712,每包 71 顆糖果.
5.    已知一個九位數 2011□□□□□ 為 6,7,8,9,10,11 的倍數,那麼這九位數的最小值是什麼?
答:
6,7,8,9,10,11 的最小公倍數是 27720.201100000 = 27720 x 7254 + 19120
最小數為 27720 x 7255 = 201186000

6.    有兩列數: (1,3,5,7,9,……,2011), (1,6,11,16,……,2011).同時出現在這兩列數的數共有幾個?
答:
第一列數的型態是 2n + 1,第一列數的型態是 5n + 1. 2 5 的最小公倍數是 10,故兩列的共同數的型態為 10n + 1,共有 1 + 2011/10 = 202.

7.    有各國王帶兵去打仗.他令士兵每排排 10 ,卻發現最後一排只有 9 .國王很迷信,他認為缺一人很不吉利,於是又令士兵每排排 9 ,這次最後一排又少 1 .於是又改成每排 8 ,最後一排,還是缺 1 ,再改成每排 7 , 6 ,……,每排 2 ,每次最後一排都缺 1 .已知國王士兵不超過 3000 ,請問士兵共有幾人?
    答: (2519)
設士兵 x,x + 1 能被 10,9,8,7,6,5,4,3,2 整除.
x + 1
2,3,4,5,6,7,8,9,10 的最小公倍數 2520 的倍數.x = 2019
8.     (PLK 2001) 把三個數 24,56,104 分別除以 K ,都得相同的餘數.請問 K 最大是多少?
    答:
   
設餘數為 a.K 整除 24 - a,56 - a,104 - a, K 整除
    (56 - a) - (24 - a) = 32,(104 - a) - (56 - a) = 48,(104 - a) - (24 - a) = 80
    ,K 32,48,80 的公因數.K 最大是 28,48,80的最大公因數,16.

9.    (PLK 2001) 有一個二位數,若將它減去 5,所得是 4 的倍數;若將它減去 6,則所得是 5 的倍數;若將它減去 7,則所得是 6 的倍數.請問這二位數是什麼?
答:
設此數為
x,x - 1 4,5,6 的倍數,故為 60 的倍數.因它是二為數,x = 61

10.  二個正整數 a b 它們的最大公因數是 5,最小公倍數是 1155.請問 a + b 的最小值是什麼?
答:
1155 = 11 x 3 x 5 x 7.
a x b = 1155 x 5 = 3 x 52 x 7 x 11.
a = 5,b = 3 x 5 x 7 x 11 , a + b = 1160

11.  (PLK 2001) 2001 個學生排成一行,從排頭到排尾,分別以 1,2,3,1,2,3……,報數,然後從排尾到排頭分別以 1,2,3,4,1,2,3,4……,報數.請問有多少位同學在這兩次報數中都報 1?
答:
如下表
:
編號
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
第一次
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
第二次
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
9 號兩次都報 1. 3 4 的最小公倍數是 12,知往後每隔 12 人兩次都報 1.故共有(2001 - 9) ÷ 12 + 1 = 167 個人兩次都報1.

12.  (PLK 2004) 一個正整數除以 6,78 所得之餘數都是 1.若它可被 5 整除,問滿足這些條件的最小數是什麼?
答:
x - 1
6,7 8 的最小公倍數 168 的倍數.
    故,x = 169,337,505,… x 5 整除,最小為 505
13.  (PLK 2006) N 為正整數,將它除以 10 餘數為 9; 將它除以 9 數為 8; 將它除以 8 餘數為 7; …………,將它除以 2 餘數為 1;請問滿足上述條件的 N 的最小值是多少?
答:
x + 1
可被 10,9,8,7,....,2 整除,是這些數的最小公倍數 2520 的倍數.
x
最小值是2520 - 1 = 2519
   
   
   
    

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