1. (PLK 1997) 小明生病了,醫生囑咐他每 8 小時服用一次 A 藥,每 5 小時服用一次 B 藥,每 10 小時 服用一次 C 藥.如果小明在星期二上午 7 點第一次同時服用這三種藥,請問他再星期幾的幾點第次同時服用這三種藥?
答:(星期三晚11點.)
5,8,10 的最小公倍數是 40,40 小時後第二次同時服用這三種藥.既星期三晚 11 點.
2. (PLK 1998) 小王要把 3 類厚度分別是 30 mm,24 mm, 18 mm 的一堆書整理一下,他只將厚度相同的書分疊成高度一樣的三疊,但盡量使書的高度愈低愈好.請問如此整理,他共用了幾本書?
答:
30,24,18 的最小公倍數是 360.
共用書 (360 ÷ 30) + (360 ÷ 24) + (360 ÷ 18) = 47 本
3. (PLK 1999) 若整數 N 能被 90,98,882 所整除,但它不能被 50,270,686,1764 所整除.已知 N 也是 9261000 的因子,請問 N 的值是什麼?
答:
90 = 2 x 32 x 5, 98 = 2 x 72, 882 = 2 x 32 x 72 的最小公倍數是 4410,故 N 是 4410 = 2 x 32 x 5 x 72 的倍數.
9261000 = 23 x 33 x 53 x 73,N 整除 9261000,故 N 的質因數為 2,3,5,7.
推得 N = 2a x 3b x 5c x 7d,1 ≤ a ≤ 3, 2 ≤ b ≤ 3, 1 ≤ c ≤ 3, 2 ≤ d ≤ 3.
N 不能被 50 = 2 x 52 整除,故 c = 1,
N 不能被 270 = 2 x 33 x 5 整除,故 b = 2
N 不能被 686 = 2 x 73 整除,故 d = 1
N 不能被 1764 = 22 x 32 x 72 整除,故 a = 1
得 N = 2 x 32 x 5 x 72 = 4410
答:
90 = 2 x 32 x 5, 98 = 2 x 72, 882 = 2 x 32 x 72 的最小公倍數是 4410,故 N 是 4410 = 2 x 32 x 5 x 72 的倍數.
9261000 = 23 x 33 x 53 x 73,N 整除 9261000,故 N 的質因數為 2,3,5,7.
推得 N = 2a x 3b x 5c x 7d,1 ≤ a ≤ 3, 2 ≤ b ≤ 3, 1 ≤ c ≤ 3, 2 ≤ d ≤ 3.
N 不能被 50 = 2 x 52 整除,故 c = 1,
N 不能被 270 = 2 x 33 x 5 整除,故 b = 2
N 不能被 686 = 2 x 73 整除,故 d = 1
N 不能被 1764 = 22 x 32 x 72 整除,故 a = 1
得 N = 2 x 32 x 5 x 72 = 4410
4. (PLK 2000) 一個盒子內有 4000 到 6000 顆糖果.如果將這些糖果平均分給 5,6,7,8 或 9 位小朋友,都會剩餘 1 顆.現在要將這些糖果重新包裝(每包不超過 4000 顆),使得每包糖果數一樣且沒有剩餘.請問每包中最多幾顆糖果?
答:
糖果數減 1 是 5,6,7,8,9 的最小公倍數 2520 的倍數.因糖果數介於 4000 到 6000 之間,得糖果數為 5041.因 5041 = 712,每包 71 顆糖果.
答:
糖果數減 1 是 5,6,7,8,9 的最小公倍數 2520 的倍數.因糖果數介於 4000 到 6000 之間,得糖果數為 5041.因 5041 = 712,每包 71 顆糖果.
5. 已知一個九位數 2011□□□□□ 為 6,7,8,9,10,11 的倍數,那麼這九位數的最小值是什麼?
答:
答:
6,7,8,9,10,11 的最小公倍數是 27720.而 201100000 = 27720 x 7254 + 19120
最小數為 27720 x 7255 = 201186000
6. 有兩列數: (1,3,5,7,9,……,2011), (1,6,11,16,……,2011).同時出現在這兩列數的數共有幾個?
答:
答:
第一列數的型態是 2n + 1,第一列數的型態是 5n + 1. 2 與 5 的最小公倍數是 10,故兩列的共同數的型態為 10n + 1,共有 1 + 2011/10 = 202個.
7. 有各國王帶兵去打仗.他令士兵每排排 10 人,卻發現最後一排只有 9 人.國王很迷信,他認為缺一人很不吉利,於是又令士兵每排排 9 人,這次最後一排又少 1 人.於是又改成每排 8 人,最後一排,還是缺 1 人,再改成每排 7 人, 6 人,……,每排 2 人,每次最後一排都缺 1 人.已知國王士兵不超過 3000 人,請問士兵共有幾人?
答: (2519)
設士兵 x 人,則 x + 1 能被 10,9,8,7,6,5,4,3,2 整除.
x + 1 是 2,3,4,5,6,7,8,9,10 的最小公倍數 2520 的倍數.故 x = 2019
x + 1 是 2,3,4,5,6,7,8,9,10 的最小公倍數 2520 的倍數.故 x = 2019
8. (PLK
2001) 把三個數 24,56,104 分別除以 K 時,都得相同的餘數.請問 K 最大是多少?
答:
設餘數為 a.則 K 整除 24 - a,56 - a,104 - a,故 K 整除
設餘數為 a.則 K 整除 24 - a,56 - a,104 - a,故 K 整除
(56 - a) - (24 - a) = 32,(104 - a) - (56 - a) = 48,(104 - a) - (24 - a) = 80
既,K 是 32,48,80 的公因數.K 最大是 28,48,80的最大公因數,16.
9. (PLK 2001) 有一個二位數,若將它減去 5,所得是 4 的倍數;若將它減去 6,則所得是 5 的倍數;若將它減去 7,則所得是 6 的倍數.請問這二位數是什麼?
答:
設此數為 x,則 x - 1 是 4,5,6 的倍數,故為 60 的倍數.因它是二為數,x = 61
設此數為 x,則 x - 1 是 4,5,6 的倍數,故為 60 的倍數.因它是二為數,x = 61
10. 二個正整數 a 和 b 它們的最大公因數是 5,最小公倍數是 1155.請問 a + b 的最小值是什麼?
答:
1155 = 11 x 3 x 5 x 7.
a x b = 1155 x 5 = 3 x 52 x 7 x 11.當 a = 5,b = 3 x 5 x 7 x 11 時, a + b = 1160
1155 = 11 x 3 x 5 x 7.
a x b = 1155 x 5 = 3 x 52 x 7 x 11.當 a = 5,b = 3 x 5 x 7 x 11 時, a + b = 1160
11. (PLK 2001) 2001 個學生排成一行,從排頭到排尾,分別以 1,2,3,1,2,3……,報數,然後從排尾到排頭分別以 1,2,3,4,1,2,3,4……,報數.請問有多少位同學在這兩次報數中都報 1?
答:
如下表:
如下表:
編號
|
…
|
11
|
10
|
9
|
8
|
7
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
第一次
|
…
|
2
|
3
|
1
|
2
|
3
|
1
|
2
|
3
|
1
|
2
|
3
|
第二次
|
…
|
3
|
2
|
1
|
4
|
3
|
2
|
1
|
4
|
3
|
2
|
1
|
第 9 號兩次都報 1.因 3 與 4 的最小公倍數是 12,知往後每隔 12 人兩次都報 1.故共有(2001 - 9) ÷ 12 + 1 = 167 個人兩次都報1.
12. (PLK 2004) 一個正整數除以 6,7 和 8 所得之餘數都是 1.若它可被 5 整除,問滿足這些條件的最小數是什麼?
答:
x - 1 是 6,7 和 8 的最小公倍數 168 的倍數.
x - 1 是 6,7 和 8 的最小公倍數 168 的倍數.
故,x = 169,337,505,… 因 x 被 5 整除,最小為 505
13. (PLK 2006) N 為正整數,將它除以 10 餘數為 9; 將它除以 9 數為 8;
將它除以 8 餘數為 7; …………,將它除以 2 餘數為 1;請問滿足上述條件的 N 的最小值是多少?
答:
x + 1 可被 10,9,8,7,....,2 整除,是這些數的最小公倍數 2520 的倍數.
x 的最小值是2520 - 1 = 2519
x + 1 可被 10,9,8,7,....,2 整除,是這些數的最小公倍數 2520 的倍數.
x 的最小值是2520 - 1 = 2519
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