因數

1.    (PLK 2000) y是一個具有八個正因數(包括1及y本身).請問y的最小值是什麼?     

    答： (24)

因 8 = 1 x 8 = 2 x 4 = 2 x 2 x 2,分三種情況討論.

若 y 只有一個質因數 p,則 y = p⁷.要使 y 最小取 p = 2.故 y = 2⁷ = 128.

若 y 有兩個質因數 p,q 則因 8 = 2 x 4,得 y = pq³. 

要使 y 最小取 p = 3,q = 2得y = 24.

若 y 有三個質因數 p,q,r 則 y = pqr,要使 y 最小取 p = 2,q = 3,r = 5 得 y = 30. ==> y 最小是 24.

2.    (PLK 2000) 有若干個正整數,其和為 20.請問這些數的積的最大值是什麼?

答：

注意到以下性質:5 = 2 + 3 而 2 x 3 > 5; 6 = 3 + 3 而 3 x 3 > 6; 

7 = 2 + 2 + 3而 2 x 2 x 3 > 7;等等.

20 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 2,此時 2 x 3⁵ = 1458 為最大的積

3.    (PLK 2000) 若 A⁴ = 75600 x B,其中 A,B 是正整數.請問 B 最小是多少?

答：

75600 = 2⁴ x 3³ x 5² x 7,得 B 最小為 3 x 5² x 7³ = 25725

4.    (PLK 2000) 兩個數 a,b 都只有質因數 3 及 5.若 a 有 12 個正因數(包括 1 及 a 本身),b 有 10 個正因數(包括 1 及 b 本身)且 a,b 的最大公因數是 75,問 a,b 的最小公倍數是多少?

    答：

75 = 3 x 5²,可知 a = 3^1+p x 5^2+q,b = 3^1+s x 5^2+t. 

p,s 必有一為 0 ; q,t 也必有一為 0.

若 s = 0,則 10 = 2 x (t + 3),得 t = 2,b = 3 x 5⁴.

q = 0.12 = (p + 2) x 3 得p = 2,a = 3³ x 5². [a,b] = 3³ x 5⁴

若p = 0,則 12 = 2 x (q + 3) 得 q = 3,a = 3 x 5⁵. t = 0.10 = (s + 2) x 3,矛盾.

5.    (PLK 1998) 請問 960 的正因數共有幾個?

    答：

960 = 2⁶ x 3 x 5,正因數共有 (6+1)(1+1)(1+1) = 28 個.

6.    (PLK 1999) 某數恰好有八個正因數,且已知 35 與 77 是其中兩個.請問這個數是什麼?

    答：

此數有至少 3 個質因數 5,7,11,而 5 x 7 x 11 恰有 8 個正因數.得此數為 

 5 x 7 x 11 = 385

7.    (PLK 2001) 有一個正偶數,它恰有 7 個正因數(包括 1 及其本身).試求此數?

    答：

因 7 是質數,它只能有一個質因數.它是數,故它的質因數為 2.它是 2⁶ = 64

8.    30⁴ 有多少個正因數?     

   答：5 x 5 x 5 = 125