數與整除性3

13.    (PLK 1998) 請問2¹⁹⁹⁸ + 3¹⁹⁹⁸的個位數是什麼?

    答：

2² = 4,2³ = 8,2⁴ = 16, 2⁵ = 32,2⁶ = 64,……可見 2 的次方的個位數是 2,4,8,6, 

輪流出現.1998 = 4 x 499 + 2,知 2¹⁹⁹⁸ 的個位數是 4.

    3² = 9,3³ = 27,3⁴ = 81, 3⁵ = 243,……可見 3 的次方的個位數是 3,9,7,1, 

    輪流出現. 3¹⁹⁹⁸ 的個位數是 9.

    故 2¹⁹⁹⁸ + 3¹⁹⁹⁸ 的個位數是 3.

14.    (PLK 1998) L 表示所有被 3 除餘 1 的正整數所成的集合.如果 L 中的數( 1 不算)除了 1 及其本身外,不能被 L 中其他數整除,稱此數為 L-質數.請問第八個 L 質數是什麼?

    答：

 L = {1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,……}.注意到小的數不能被大的數整除.

     L-質數為 4,7,10,13,19,22,25,31,34,……,

     第八個 L 質數是 31

15.    d 是大於 1 的整數. d 除 1059,1417,2312 時都得相同的餘數 r.請問 d - r 是多少?

    答：

若 d 除 a,b 都得相同的餘數 r,則 d 整除 a - b.用此原裡可得 d 整除 179.

因 179 是質數,得d = 179,得 r = 164.故 d - r = 15.

16.    一個正整數稱為精巧 n 位數如果它的 n 個數碼是 1,2,3,……,n 的排列,而且它前 k 個數碼恰組成一個能被 k 整除的整數.例如: 321 是一個精巧三位數,3 能被 1 整除,32 能被 2 整除, 321 能被 3 整除.請找出所有的 6 位精巧數.

    答：

設 abcdef 是一個 6 位精巧數.因 5 整除 abcde,知 e = 5.又因 4 整除 abcd,

知 cd = 12,16,24,32,36,或64.又因 6 整除 abcdef,f 必為偶數,且 2 整除 ab,

b 也必為偶數.因此 cd 不可能為 24 或 64.故 6 位精巧數可能為

341256,361254,321654,341652,143256,163254,123654,或 143652.

精撿查,只 321654 及 123654 是精巧數.

17.    (PLK 2006) 各位數碼的和等於 10 的整數稱為快樂數.請問在 100 與 1000 之間有多少個快樂數?

    答：

(1)  1 到 99 之間

將十個 1 排成一列, 1111111111,1 與 1 之間共有 9 個空位.任選一個空位填入 0,把這十個 1 分成兩堆.如 11101111111,這代表 37;又如 11111011111,這代表 55.可見在 1 到 99 之間,快樂數的個數與把十個 1 用 0 隔成兩堆的方法一樣多,等於 9

(2)  100 到 999 之間

將十個 1 排成一列, 1111111111,1 與 1 之間共有 9 個空位.任選兩個空位填入 0,把這十個 1 分成三堆.如 110111011111 表示 235;又如 111101111011 表示 442.這樣的表示法可以表示 100 到 999 之間個位數及百位數不是 0 的快樂數,

共(9 x 8) = 36個.
     2

若個位數為 0,其形如 ab0 的個數很明顯與 10 到 99 的快樂數一樣多,既 9個.

同理形如 a0b 的個數也有 9 個.

100 到 1000 之間的快樂數共有 9 + 36 + 9 = 54 個.

18.    (PLK 2006) a,b,c 都是兩位數.a 的個位數是 7, b 的個位數是 5, c 得十位數是 1.

    若a x b + c = 2006 問 a + b + c 等於多少?

    答：

a x b 的個位數是 5,知 c 的個位數是 1,故 c = 11.得 a x b = 2006 – 11 = 1995

    1995 = 3 x 5 x 7 x 19,知 a = 57,b = 35.

19.    若 20062006......200601 能被 11 整除,問 n 最小是多少?

          n个2006

    答：

(6n + 1) - 2n = 4n + 1 能被 11 整除,n 最小是 8.

20.    (PLK 2002) 一個整數若滿足下列全部條件,則稱它為保良數:

(1)  這個數是個四位數

(2)  這個數的每位數碼都是48的因數

(3)  這個數的每位數碼可能重覆出現

(4)  這個數的數碼和為20

(5)  這個數是4的倍數

試求最小的保良數.

答：

設此數為 abcd.

由(5)知 4 整除cd.由(2)知cd = 12, 16, 24, 28, 32, 36, 44, 48, 64, 68 或 88.

由(4)知:

cd = 12,則 ab = 78 或 87,與(2)矛盾.

cd = 16,則 ab = 49, 94, 58, 85, 67或76,與(2)矛盾.

cd = 24,則 ab = 95, 59, 86, 68 或 77.ab = 95, 59,77與(2)矛盾.
==>故得保良數8624,6824

cd = 28,則 ab = 91,19,28, 82, 37, 73, 46,64 或 55.ab = 91, 19, 37, 73, 55與(2)矛盾.==>故得保良數2828,8228,4628,6428.

cd = 32,則 ab = 96, 69, 87 或 78.ab = 96, 69, 87, 78與(2)矛盾.

cd = 36,則 ab = 92, 29, 38, 83, 47,74 或 65.ab = 92, 29, 47, 74, 65與(2)矛盾.==>故得保良數3836,8336.

cd = 44,則 ab = 93,39,48,84,57,75 或 66.ab = 93,39,57,75與(2)矛盾.故得保良數4844,8444,6644.

cd = 48,則 ab = 17,71,26,62,35,53 或 44.ab = 17,71,35,53與(2)矛盾.==>故得保良數2648,6248,4448.

cd = 64,則 ab = 19,91,28,82,37,73,64,46 或 55.ab = 19,91,37,73,55與(2)矛盾.==>故得保良數2864,8264,6464,4664.

cd = 68,則 ab = 15,51, 24,42或33.ab = 15,51,33與(2)矛盾.==>故得保良數2468,4268.

cd = 88,則 ab = 13,31或22.==>故得保良數1388,3188,2288.

最小的保良數是1388

21.    (PLK 2002) 將自然數 1,2,3,4,......,49,50 依序寫下得一個很大的數

123456.........484950.將此數中80個數碼去掉,剩下的數碼一原序排列.問剩下的數碼構成的整數的最大值是?

答：

要得最大值,應盡量留 9 最左邊.故去掉

1,2,3,4,5,6,7,8,留 9.共去掉 8 個數碼.

再去掉 10,11,12,13,14,15,16,17,18,1,留 9. 共去掉 19 個數碼

再去掉 20,21,22,23,24,25,26,27,28,2,留 9. 共去掉 19 個數碼

再去掉 30,31,32,32,34,35,36,37,38,3,留 9. 共去掉 19 個數碼

再去掉 40,41,42,43,44,45,46,4 共去掉 15 個數碼,

到此共去掉 80 個數碼,剩下的為 99997484950