數與整除性1

1.    (PLK 1997)  用 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 配成五個二位數,每個數碼恰好使用一次,當這五個數的乘積為最大時,請問這五個數中最大的是多少?

答：

要使這五個數的乘積最大,它們的十位數應越大越好,故取這五個數為 9a,8b,7c,6d,5e.
其乘積為

$(90\; +\; a)(80\; +\; b)(70\; +\; c)(60\; +\; d)(50\; +\; e)$

要使這五個數的乘積最大,則 (90 + a)(80 + b)(70 + c)(60 + d) x e 需越大越好. 

故取 e = 4.五個數的乘積是 (90 + a)(80 + b)(70 + c)(60 + d) x 54

要使這五個數的乘積最大,則 (90 + a)(80 + b)(70 + c) x d 需越大越好,故取 d = 3.

五個數的乘積是 (90 + a)(80 + b)(70 + c) x 63 x 54.

餘此類推得 c = 2, b = 1, a = 0.最大的數是 90.

2.    若 20102010......201015 能 55 被整除,則 n 的最小值是多少?

       n个2010
答：

此數必需被 11 整除.11 整除(奇數位的和-偶數位的和)= 3n + 1 - 5.

N 最想為 5.

3.    一個五位數除以 2009 而得到的余數要最大,則這五位數最小是多少?

答：

最大余數為 2008.因 1000 ÷ 2009 = 4 余 1964, 

故此最小五位數是 2009 x 4 + 2008 = 10044.

4.    若 a,b,c,d 是四個互不相同的正整數,且 a x b x c x d = 2010,

    則 a + b + c + d 的最大值是多少?

    答：

    a x b x c x d = 2010 = 1 x 2 x 3 x 5 x 67.

    a + b + c + d 最大为 1 + 2 + 3 + 5 x 67 = 341.

5.  在 724 的左邊添一個數字 a,右邊添一個數字 b,組成一個五位數 (a724b).如果這五位數是 12 的倍數,則這五位數最小是多少?

    答：

    a724b 是 12 的倍數,也就是 3 與 4 的倍數.故

(1) b = 0, 4 或 8.

    (2) a + b + 7 + 2 + 4 = 13 + a + b 是 3 的倍數.

        b = 0,則 a 為 2, 5 或 8.這五位數是 27240, 57240 或 87240

        b = 4,則 a 為 1, 4 或 7.這五位數是 17244, 47244 或 77244

        b = 8,則 a 為 3, 6 或 9.這五位數是 37248, 67248 或 97248

    這五位數最小是 17244.

6.    (PLK 1999) 若 A1999311B 能被 72 整除,請問 A,B 兩數之差是多少?

答：

A1999311B 能被 8 及 9 整除.故 8 整除 11B 得 B = 2.

A + 1 + 9 + 9 + 9 + 3 + 1 + 1 + 2 = A + 35 能被 9 整除,得A = 1.兩數之差為 1

7.    (PLK 2000) 有一個數將它分別加上 15 與減去 4 後都是完整平方數.請問這個數是什麼?

    答：    

    x + 15 = a²,

    x - 4 = b², 

    得(a - b)(a + b) = 19.

    故 a - b = 1,a + b = 19

     得a = 10

    x = 85.

  

8.    (PLK 2000) 請問有多少個四位正整數,它四個數碼的乘積是一個質數?

    答：

這四個數碼必是三個 1 及一個質數 2,3,5,7. 故共有 16 個這樣的數.