估計

1.       小鹏计算一题求 7 个整数的平均数(答案取至小数点后两个位数)时,将答案最后一位算错了,他的错误答案是 21.83.请问正确答案是多少?

    答：

设 7 个整数的和是 $x$.因正确答案 $t$ 必介于 21.80 与 21.89 之间, 
故 21.795 $< t < $21.894,可见 $7\times 21.795 < x < 7\times 21.894$, 
既 152.565 $< x < $153.258

因 7 个都是整数,知 $x =$ 153.正确答案是 153/7 = 21.86

2.      已知$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot +\frac{1}{n\times (n+1)}>\frac{1949}{2010}$,求 $n$ 的最小值.

    答：

原式=$(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\cdot \cdot \cdot \cdot +(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=1-\frac{1}{n+1}$

解得 $n$ 最小为 32

3.   某校全体同学参加植树活动,要求男女同学各种 8 行树,男同学重的树比女同学种的多.如果每行都比预定的多种一颗树,则男同学与女同学种的树都比 2009 颗多; 如果每行都比预定的少种一颗树,则男同学与女同学种的树都比 2009 颗少.问男女同学合种多少颗树?

    答：

    设男种的每行 $x$ 颗树,女种的每行 $y$ 颗树.

    $8(x+1) > 2009,   8(y+1) > 2009$

    $8(x-1) < 2009,   8(y-1) < 2009$

       得 $x > 250\frac{1}{8},x < 252\frac{1}{8}$, $y > 250\frac{1}{8},y < 252\frac{1}{8}$

       因 $x,y$,知 $x$ = 252,$y$ = 251,$8x + 8y$ = 4024

4.       (PLK 1999)如果 ${{x}^{3}}$ = 1999, ${{y}^{2}}$ = 1999,其中 $x$ > 0,$y$ > 0.请问介于 $x$ 与 $y$ 中有多少个整数? 

    答：32

    ${{12}^{3}} <$ 1999 = ${{x}^{3}} < {{13}^{3}}$,故 12 $< x <$ 13.

    ${{44}^{2}} <$ 1999 = ${{y}^{2}} < {{45}^{2}}$,故 44 $< y <$ 45

    $x,y$ 之间的整数为 13,14,15,......,43,44,共 32 个.

5.   (PLK 2002)某数的完整平方是形如 $\overline{4abc9}$ 的五位数.若 $a > b > c$,请问 $a + b + c$ 是多少?

    答：

        设此某数为 A ,则可推得 A 是三位数,其百位是 2 ,个位是 3 或 7.

    因 ${{225}^{2}}$ = 50625,知 A 可能为 203,207,213,217 或 223.逐个计算,
    知只有 ${{223}^{2}}$ = 49729 满足 $a$ > b > c 的条件,故 $a + b + c =$ 18

6.   某商店用元与分标价某一货物.当 4 % 的货物税加上去后,正好是 $n$ 元, $n$ 是整数.问 $n$ 最小是多少?

    答：

设原标价是 $x$,则 $\frac{104}{100}x = n,$ 既 $x = \frac{25}{13}n$. 因 $x$ 是元与分标价,$n$ 必需是 13 的倍数,最小是 13.

7.   (PLK 2000)已知 $k,m,n$ 是正整数,并且满足下列条件:

   $\frac{19}{20} < \frac{1}{k} + \frac{1}{m} + \frac{1}{n} < 1$

   请问 $k + m + n$ 的最小值是多少?

   答： 

   可另 $k\le m\le n$.

       若 $k\ne 2$,则, $\frac{1}{k} + \frac{1}{m} + \frac{1}{n}\le \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{11}{12} < \frac{19}{20}$,与条件矛盾. 

   故 $k = 2$,$m > 2$.

   若 $m\ne 3$,则,$\frac{1}{k} + \frac{1}{m} + \frac{1}{n} < \frac{1}{2} + \frac{1}{4}  +\frac{1}{5} = \frac{19}{20}$,矛盾.

   故 $m =$ 3. $n$ 最小是 7

8.   (PLK 2002)将 $\frac{1}{14}$ 表成小数的形式,请问小数点后第 2002 位数码是什么?

   答：

   $\frac{1}{14} = 0.0\overline{714285}$.$2002-1 = 6\times 333 + 3$.第 2002 位数码是 4.

9. (PLK 2003)从 1 到 9 中取3 个 相异数码 $x,y,z$,组成一个三位数 $\overline{xyz}$.请问 $\frac{\overline{xyz}}{x + y + z}$ 的最小值是多少?

   答：

   $\frac{\overline{xyz}}{x + y + z} = \frac{100x + 10y + z}{x + y + z}$

   $ = \frac{(x + y + z) + 99x + 9y}{x + y + z}$

   $ = 1 + \frac{99x + 9y}{x + y + z}$

   要使它为最小,应取 $z = 9$.

   $ = 1 + \frac{(9x + 9y + 81) + 90x - 81}{x + y + 9}$

   $ = 1 + 9 + \frac{90x - 81}{x + y + 9}$

   要使它为最小,应取 $y =$ 8.

   $ = 10 + \frac{90x - 81}{x + 17}$

   $ = 10 + \frac{90(x + 17) - 90\times17 - 81}{x + 17}$

   $ = 10 + 90 - \frac{1611}{x + 17}$

   要使它为最小,应取 $x =$ 1.
   故 $\frac{\overline{xyx}}{x + y + z}$ 的最小值是
    $\frac{189}{1 + 8 + 9} = \frac{189}{18} = \frac{21}{2}$.

10. (PLK 2006)下列连分数中, $a,b,c,d$ 可用 1,2,3,4 任意但不重复的代入.请问所得最大值与最小值的差是多少?

    答：

    $a + \frac{1}{b + \frac{1}{c + \frac{1}{d}}}$

       要使连分数最大,当然取 $a =$ 4,且要求 $b + \frac{1}{c + \frac{1}{d}}$ 为最小.

    故取 $b = $1 且要求 $c + \frac{1}{d}$ 为最大.故取 $c = 3,d = 2$,得连分数之最大值为 $4\frac{7}{9}$.

   同理可得连分数之最小值为 $1\frac{7}{31}$.最大与最小之差为 $3\frac{154}{279}$.