估計

1.       小鹏计算一题求 7 个整数的平均数(答案取至小数点后两个位数)时,将答案最后一位算错了,他的错误答案是 21.83.请问正确答案是多少?

    答：

设 7 个整数的和是 $x$.因正确答案 $t$ 必介于 21.80 与 21.89 之间, 
故 21.795 $< t < $21.894,可见 $7\times 21.795 < x < 7\times 21.894$, 
既 152.565 $< x < $153.258

因 7 个都是整数,知 $x =$ 153.正确答案是 153/7 = 21.86

2.      已知$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot +\frac{1}{n\times (n+1)}>\frac{1949}{2010}$,求 $n$ 的最小值.

    答：

原式=$(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\cdot \cdot \cdot \cdot +(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=1-\frac{1}{n+1}$

解得 $n$ 最小为 32

3.   某校全体同学参加植树活动,要求男女同学各种 8 行树,男同学重的树比女同学种的多.如果每行都比预定的多种一颗树,则男同学与女同学种的树都比 2009 颗多; 如果每行都比预定的少种一颗树,则男同学与女同学种的树都比 2009 颗少.问男女同学合种多少颗树?

    答：

    设男种的每行 $x$ 颗树,女种的每行 $y$ 颗树.

    $8(x+1) > 2009,   8(y+1) > 2009$

    $8(x-1) < 2009,   8(y-1) < 2009$

       得 $x > 250\frac{1}{8},x < 252\frac{1}{8}$, $y > 250\frac{1}{8},y < 252\frac{1}{8}$

       因 $x,y$,知 $x$ = 252,$y$ = 251,$8x + 8y$ = 4024

4.       (PLK 1999)如果 ${{x}^{3}}$ = 1999, ${{y}^{2}}$ = 1999,其中 $x$ > 0,$y$ > 0.请问介于 $x$ 与 $y$ 中有多少个整数? 

    答：32

    ${{12}^{3}} <$ 1999 = ${{x}^{3}} < {{13}^{3}}$,故 12 $< x <$ 13.

    ${{44}^{2}} <$ 1999 = ${{y}^{2}} < {{45}^{2}}$,故 44 $< y <$ 45

    $x,y$ 之间的整数为 13,14,15,......,43,44,共 32 个.

5.   (PLK 2002)某数的完整平方是形如 $\overline{4abc9}$ 的五位数.若 $a > b > c$,请问 $a + b + c$ 是多少?

    答：

        设此某数为 A ,则可推得 A 是三位数,其百位是 2 ,个位是 3 或 7.

    因 ${{225}^{2}}$ = 50625,知 A 可能为 203,207,213,217 或 223.逐个计算,
    知只有 ${{223}^{2}}$ = 49729 满足 $a$ > b > c 的条件,故 $a + b + c =$ 18

6.   某商店用元与分标价某一货物.当 4 % 的货物税加上去后,正好是 $n$ 元, $n$ 是整数.问 $n$ 最小是多少?

    答：

设原标价是 $x$,则 $\frac{104}{100}x = n,$ 既 $x = \frac{25}{13}n$. 因 $x$ 是元与分标价,$n$ 必需是 13 的倍数,最小是 13.

7.   (PLK 2000)已知 $k,m,n$ 是正整数,并且满足下列条件:

   $\frac{19}{20} < \frac{1}{k} + \frac{1}{m} + \frac{1}{n} < 1$

   请问 $k + m + n$ 的最小值是多少?

   答： 

   可另 $k\le m\le n$.

       若 $k\ne 2$,则, $\frac{1}{k} + \frac{1}{m} + \frac{1}{n}\le \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{11}{12} < \frac{19}{20}$,与条件矛盾. 

   故 $k = 2$,$m > 2$.

   若 $m\ne 3$,则,$\frac{1}{k} + \frac{1}{m} + \frac{1}{n} < \frac{1}{2} + \frac{1}{4}  +\frac{1}{5} = \frac{19}{20}$,矛盾.

   故 $m =$ 3. $n$ 最小是 7

8.   (PLK 2002)将 $\frac{1}{14}$ 表成小数的形式,请问小数点后第 2002 位数码是什么?

   答：

   $\frac{1}{14} = 0.0\overline{714285}$.$2002-1 = 6\times 333 + 3$.第 2002 位数码是 4.

9. (PLK 2003)从 1 到 9 中取3 个 相异数码 $x,y,z$,组成一个三位数 $\overline{xyz}$.请问 $\frac{\overline{xyz}}{x + y + z}$ 的最小值是多少?

   答：

   $\frac{\overline{xyz}}{x + y + z} = \frac{100x + 10y + z}{x + y + z}$

   $ = \frac{(x + y + z) + 99x + 9y}{x + y + z}$

   $ = 1 + \frac{99x + 9y}{x + y + z}$

   要使它为最小,应取 $z = 9$.

   $ = 1 + \frac{(9x + 9y + 81) + 90x - 81}{x + y + 9}$

   $ = 1 + 9 + \frac{90x - 81}{x + y + 9}$

   要使它为最小,应取 $y =$ 8.

   $ = 10 + \frac{90x - 81}{x + 17}$

   $ = 10 + \frac{90(x + 17) - 90\times17 - 81}{x + 17}$

   $ = 10 + 90 - \frac{1611}{x + 17}$

   要使它为最小,应取 $x =$ 1.
   故 $\frac{\overline{xyx}}{x + y + z}$ 的最小值是
    $\frac{189}{1 + 8 + 9} = \frac{189}{18} = \frac{21}{2}$.

10. (PLK 2006)下列连分数中, $a,b,c,d$ 可用 1,2,3,4 任意但不重复的代入.请问所得最大值与最小值的差是多少?

    答：

    $a + \frac{1}{b + \frac{1}{c + \frac{1}{d}}}$

       要使连分数最大,当然取 $a =$ 4,且要求 $b + \frac{1}{c + \frac{1}{d}}$ 为最小.

    故取 $b = $1 且要求 $c + \frac{1}{d}$ 为最大.故取 $c = 3,d = 2$,得连分数之最大值为 $4\frac{7}{9}$.

   同理可得连分数之最小值为 $1\frac{7}{31}$.最大与最小之差为 $3\frac{154}{279}$.

巧算

1. (PLK 1997)计算 $29\frac{27}{28}\times 27\frac{14}{15}$

  答：

$(30-\frac{1}{28})\times (28-\frac{1}{15})=840-1-2+\frac{1}{420})=837\frac{1}{420}$

2. (PLK 1997) 997-996-995+994+993-992+991-990-989+988+987-986+985-984-983+982+981-980+.....+7-6-5+4+3-2+1=?

   答：

    注意到规则 $+ - - + + -$ .所以 6 项为一组计算,每组的和为 1,共 $\frac{996}{6}=166$ 组. 得 $166+1=167$

3. (PLK 1997)计算

$1\times \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdot \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{10} \right) + 3\times \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdot \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{10} \right)$
$ + 5\times \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdot \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{10} \right) + 7\times \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdot \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{10} \right)$
$+ 9\times \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \cdot \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{10} \right) + 11\times \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{10}\right)$ +
$13\times \left( \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{10} \right)$ +
$15\times \left( \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{10} \right)$ +
$17\times \left( \frac{1}{9} + \frac{1}{10} \right) +19\times \left( \frac{1}{10} \right)$

  答：

    $1+(1+3)\times \frac{1}{2}+(1+3+5)\times \frac{1}{3}+(1+3+5+7)\times \frac{1}{4}+(1+3+5+7+9)\times \frac{1}{5}$
$+ (1+3+5+7+9+11)\times \frac{1}{6}+(1+3+5+\cdot \cdot \cdot \cdot +13)\times \frac{1}{7}+(1+3+5+\cdot \cdot \cdot \cdot +15)\times \frac{1}{8}$
$+ (1+3+5+\cdot \cdot \cdot \cdot +17)\times \frac{1}{9}+(1+3+5+\cdot \cdot \cdot \cdot +19)\times \frac{1}{10}$

  $ =  1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10$

  $ = 55 $

4. (PLK 1998) 计算 $\frac{1\times 2\times 3+2\times 4\times 6+3\times 6\times 9+4\times 8\times 12+5\times 10\times 15}{1\times 3\times 5+2\times 6\times 10+3\times 9\times 15+4\times 12\times 20+5\times 15\times 25}$

   答：

      $\frac{(1\times 2\times 3)(1+2+3+4+5)}{(1\times 3\times 5)(1+2+3+4+5)}=\frac{2}{5}$

5. (PLK 1999) 化简  $\left( 1 - \frac{1}{3} \right) $ $\left( 1 - \frac{1}{4} \right) $$\left( 1 - \frac{1}{5} \right) $$\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \left( 1 - \frac{1}{1999} \right) $

   

   答：

       $\frac{2}{3}\times \frac{3}{4}\times \frac{4}{5}\times \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \times \frac{1997}{1998}\times \frac{1998}{1999}=\frac{2}{1999}$

6. (PLK 1999) 分数 $\frac{44}{37}$ 可以寫成 $1 + \frac{1}{x + \frac{1}{y + \frac{1}{z}}}$,其中 $x,y,z$ 是部同的整數.請問 $x + y + z$ 的値是多少?

   

   答：
     $\frac{44}{37}  = \frac{37 + 7}{37} = 1 + \frac{7}{37} = 1 + \frac{1}{\frac{37}{7}}$

     $= 1+ \frac{1}{\frac{7\times 5+2}{7}} $
     $= 1+ \frac{1}{5+ \frac{2}{7}} $
     $= 1+ \frac{1}{5+ \frac{1}{\frac{7}{2}}} $
     $= 1+ \frac{1}{5+ \frac{1}{\frac{2\times 3+1}{2}}} $

     $= 1 + \frac{1}{5 + \frac{1}{3 + \frac{1}{2}}}$

      $ x = 5,y = 3,z = 2$. $x + y + z = 10$

7. (PLK 1999)计算 
     ${1999}^{2}  - \left( {1998}^{2}  - \left( {1997}^{2} -\left( {1996}^{2} - \left( \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot - \left({2}^{2} - {1}^{2} \right) \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \right)\right) \right) \right) $

   答：

    ${{1999}^{2}}-{{1998}^{2}}+{{1997}^{2}}-{{1996}^{2}}+{{1995}^{2}}-\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot -{{2}^{2}}+{{1}^{2}}$

$ =\left( {{1999}^{2}}-{{1998}^{2}} \right)+\left( {{1997}^{2}}-{{1996}^{2}} \right)+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot +\left( {{3}^{2}}-{{2}^{2}} \right)+{{1}^{2}}$

$ =(1999+1998)+(1997+1996)+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot +3+2+1 $

$ =\frac{1}{2}(2000)(1999)$

$ =1999000 $ 

8. (PLK 2003)请问 $\frac{1}{2} + \left( \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \right) + \left( \frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{3}{4} \right) + \left( \frac{1}{5} + \frac{2}{5} + \frac{3}{5} + \frac{4}{5} \right) \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + \left( \frac{1}{100} + \frac{2}{100} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + \frac{99}{100}\right)$

之値等于多少?

答：

$\frac{1}{2}+\frac{1+2}{3}+\frac{1+2+3}{4}+\frac{1+2+3+4}{5}+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot +\frac{1+2+3+4\cdot \cdot \cdot \cdot +99}{100}$

$=\frac{1}{2}+\frac{3}{3}+\frac{1}{4}\frac{3\times 4}{2}+\frac{1}{5}\times \frac{4\times 5}{2}+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot +\frac{1}{100}\times \frac{99\times 100}{2}$

$ =\frac{1}{2}+1+\frac{3}{2}+2+\frac{5}{2}+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot +\frac{99}{2} $

$ =\frac{1+2+3+\cdot \cdot \cdot \cdot +99}{2} $

$ =\frac{99\times 100}{2}=2475 $ 

9. (PLK 2008)计算 

$\frac{\left(1\times 2\times 3 + 2\times 4 \times 6 + 3\times 6 \times 9 + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + 2008\times 4016 \times 6024\right)}{3 \times 4 \times 5 + 6 \times 8 \times 10 + 9 \times 12 \times 15 + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + 6024 \times 8032 \times 10040}$

   答：

$\frac{(1\times 2\times 3)(1+2+3+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot +2008)}{(3\times 4\times 5)(1+2+3+\cdot \cdot \cdot \cdot +2008)}=\frac{1}{10}$

10. 计算 $(200001+20001+2001+201+21)\div 25$ 

   答：8889

 

11. 计算

      $3333 \times 2222 + 1111 \times 3333 - \frac{5555}{8888} \times 25 \% \times \frac{4}{25}$ 

    答：1108879

12. 计算 $\frac{1}{2}+\frac{1}{2+4}+\frac{1}{2+4+6}+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot +\frac{1}{2+4+6+\cdot \cdot \cdot \cdot +98}$

    答： $\frac{49}{50}$

13. 计算 $(\frac{1}{2}+\frac{1992}{1993}+\frac{1993}{1994})\times (\frac{1992}{1993}+\frac{1993}{1994}+\frac{1994}{1995})-(\frac{1992}{1993}+\frac{1993}{1994}+\frac{1994}{1995}+\frac{1}{2})\times (\frac{1992}{1993}+\frac{1993}{1994})$

    答：

     $A = \frac{1992}{1993}+\frac{1993}{1994},B = \frac{1992}{1993}+\frac{1993}{1994}+\frac{1994}{1995}$,

    原式 $ = (\frac{1}{2}+A)\times B-(B+\frac{1}{2})\times B=\frac{1}{2}(B-A)=\frac{997}{1995}$

14. 计算 $ 3-5+7-9+11-13+\cdot \cdot \cdot \cdot +1995-1997+1999-2001+2003$

    答：1003

 

15. 计算$(1-\frac{3}{2\times 4})\times (1-\frac{3}{3\times 5})\times (1-\frac{3}{4\times 6})\times \cdot \cdot \cdot \cdot \times (1-\frac{3}{9\times 11})$

    答： $\frac{1}{3}$

16. 计算

$3000 + \frac{3000}{1 + 2} + \frac{3000}{1 + 2 + 3} + \frac{3000}{1 + 2 + 3 + 4} + \cdot \cdot \cdot \ cdot \ cdot + \frac{3000}{1 + 2 + 3 + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + 2999}$

答： 5998

17. 计算 $\frac{12}{13}+\frac{129}{130}+\frac{1299}{1300}+\cdot \cdot \cdot \cdot +\frac{12999999999999}{13000000000000}$ 的整数部份是多少? 

    答： 12

     $\frac{12}{13}+\frac{129}{130}+\frac{1299}{1300}+\cdot \cdot \cdot \cdot +\frac{12999999999999}{13000000000000}>\frac{12}{13}+\frac{12}{13}+\cdot \cdot \cdot \cdot +\frac{12}{13}=14\times \frac{12}{13}>12 $

     $\frac{12}{13}+\frac{129}{130}+\frac{1299}{1300}+\cdot \cdot \cdot \cdot +\frac{12999999999999}{13000000000000}<1+1+1+\cdot \cdot \cdot \cdot +1=13$

 

18. 計算 $999999\frac{8}{9}+99999\frac{8}{9}+9999\frac{8}{9}+999\frac{8}{9}+99\frac{8}{9}+9\frac{8}{9}+\frac{2}{3}$

    答： 1111110

19. 計算 $2011\times 2010-2010\times 2009+2009\times 2008-2008\times 2007+\cdot \cdot \cdot \cdot +5\times 4-4\times 3+3\times 2-2$

 

答：2022060

20. 計算 $(123456+234561+345612+456123+561234+612345)\div 7$

    答：

令 $A=1+2+3+4+5+6=21$

原式 $ = ({{10}^{5}}\times A+{{10}^{4}}\times A+{{10}^{3}}\times A+{{10}^{2}}\times A+10\times A+A)\div 7$

$ = 3\times ({{10}^{5}}+{{10}^{4}}+{{10}^{3}}+{{10}^{2}}+10+1) $

$ = 3\times 111111 $

$ = 333333 $

21. 計算 $2010\times \frac{3}{8}-0.375\times 1949+3\frac{3}{4}\times 1.9$

    答：  

    $ 2010\times \frac{3}{8}-\frac{3}{8}\times 1949+\frac{30}{8}\times \frac{19}{10} $

    $ = 2010\times \frac{3}{8}-1949\times \frac{3}{8}+19\times \frac{3}{8} $

    $ =\frac{3}{8}(2010-1949+19) $

    $ =\frac{3}{8}(80) $

    $ = 30 $

22. 計算 $1-(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}+\frac{1}{256}+\frac{1}{512}+\frac{1}{1024})$

答：如图:

  

原式 = 面积为1的正方形第十次等分后剩下的面积= $\frac{1}{1024}$

23. 计算 $\left( \frac{1}{30} + \frac{1}{41} + \frac{1}{43} + \frac{1}{47} + \frac{1}{53}\right) \times \left( \frac{1}{41} + \frac{1}{43} + \frac{1}{47} + \frac{1}{53} + \frac{1}{67} \right) -
\left( \frac{1}{30} + \frac{1}{41} + \frac{1}{47} + \frac{1}{53} + \frac{1}{67}\right)
\times \left( \frac{1}{41} + \frac{1}{43} + \frac{1}{47} + \frac{1}{53}\right)$

   答：

   令 $A =\frac{1}{30}+\frac{1}{41}+\frac{1}{43}+\frac{1}{47}+\frac{1}{53}$,   

      $B =\frac{1}{41}+\frac{1}{43}+\frac{1}{47}+\frac{1}{53}$

   原式   $A \times \left( B + \frac{1}{67} \right) - \left( A + \frac{1}{67} \right) \times B $
         $ = (A-B)\times \frac{1}{67} $

        $ =\frac{1}{30}\times \frac{1}{67}=\frac{1}{2010} $ 

24. 一个正整数有 2020 各位数,每个位数上的数字都是 9.这个数字自已相乘,所得的积中各个数字上的数字和是多少?

答：  

$x=\underbrace{9999............99}_{2010}$

${{\text{x}}^{\text{2}}}=\text{(1}\underbrace{\text{000}.............\text{0}}_{\text{2010}\text{0}}-1)\times (\underbrace{9999............99)}_{20109}$

$ =\underbrace{9999...........99}_{2010\text{9}}\underbrace{\text{0000}..............\text{00}}_{\text{2010}0}-\underbrace{9999...........99}_{20109} $

$ =\underbrace{9999...........99}_{20099}8\underbrace{0000.............00}_{2009\text{0}}\text{1} $

数字和为 $\text{9}\times \text{2009}+\text{8}+\text{1}=\text{18090}$