面积

1.    (PKL 1997) 如下圖,大小正方行部份重疊.請問兩個正方形不重疊部份的面積相差多少cm² ?

 

2.    (PKL 1997) 如圖所示,長方行 ABCD 是由 5 個全等的長方行所組成.如果 ABCD 的面積是 6750 cm²,問長方行 ABCD 的周長是多少? 

   

   答：330

    如圖:

   小長方形 EFGH 的 長:寬= 2:3,面積 = 1350 cm²,將小長方行等分成 6 個小正方行如下圖:

   

   知每個小正方形的面積 = 225 cm²,故邊長為 15 cm. HG = 30 cm, HE = 45 cm

  

3.    (PKL 1997) PQR 是邊長為 3 的正三角形,線段 PU, UV, VQ, WX, XR, RY, YZ,ZP 的長度均為 1 單位.請問陰影部份四邊形 UWXY 的面積佔三角形面積的幾分之幾?   

   答： 4/9

   如图：

     UWX 與 UWQ 全等. UWX 與 UYX 全等.

 

         S_UWX = ½ S_UQX = ½( ⁴/₉ S_PQR ) = ²/₉ S_PQR

 

         S_UWXY = 2 S_UWX = ⁴/₉ S_PQR

       

 

4.    (PKL 1998) OA, OB分別是小半圓的直徑,且 OA = OB = 3 cm,若 ∠AOB 為直角,且 A,B 是在以 OA 為半徑的大圆周上的兩點.請問陰影部份的面積是多少cm² ?

     答： 4.5

     如图：

          a = b = c = d,故 陰影的面積= S_AOB

 

5.  (PLK 1998) 如圖所示,O是邊長為6的正方形的中心.EOF 為直角三角形.OE = 8, OF = 6.請問陰影部份的面積是多少? (15)

    答： 15
    如图：

    S_DSOT = ¹/₄ S_ABCD = 9, 陰影面積S_EOF – 9 = 15

5.    (PLK 1998) 有ㄧ個長方形的草地四周圍被 1 m 寬的路徑包圍,形成一個更大的長方形.此草地的長與寬都是整數,而且路徑的面積等於草地的面積.請問此路徑的最小面積是多少? 

   答： 24

   如圖:

ab = 2a + 2b + 4, (a-2)(b-2) = 8 = 1x8 or 2x4

a = 3, b = 10 or a = 4,b = 6. ab 最小是 24

6. (PKL 1999) 如下圖:在 ∆ABC 中,D 是 AB 的中點,E 是 BD 的中點,F 為 BE 的中點.已知∆DCF 的面積為 63 cm²,問 ∆ABC 的面積是多少 cm² ?  

        答：168

        S_ABC = 2 S_DBC = 2 x ⁴/₃ S_DCF = ⁸/₃ x 63 = 168      

7.    (PKL 1999) 在下圖中,三個小三角形的面積別是 5,8 和 10.試問四邊形的面積 X 是多少?   (22)

     答：22
     如下图

     DF:FC = 1:2, BF:FE = 5:4

     5 + a = 5

       b     4

       a   =  1, 得a = 10, b = 12, 故 X = 22

     8 + b    2

8.    (PLK 2000) 下圖中,正方形 ABCD及 DCEG的面積均為 64 cm².EFG 則為一個半圓,F 是弧 EFG 的中點.請問陰影部分的面積是多少 cm² ? (取π=3.14)     

   答： 36.56

   如下圖:

 

           兩個陰影部份面積相等.

                陰影面積 = ½ (64 + 64 + ½ (π x 4²) – ½ x 8 x 20) .

9.    (PLK 2000) 下圖中,ABCD 為正方形,P,Q,R及 S 分別為AB, BC, CD 及 DA 的中點.請問圖中陰影部份與正方形 ABCD 的面積比為何?   

    答： 1：5

   如下圖:令S_QFC = a

     S_PBC = ¼ S_ABCD. S_BGC = 4 S_QFC = 4a

     S_QFGB = 3a, 知 S_PBC = 5a, S_ABCD = 20a

     S_APRC = ½ S_ABCD = 10a, S_EFGH = 4a

  S_EFGH : S_ABCD = 1:5

 

10.    (PLK 2000)  在三角形 ABC 中,已知BC = 6 BD, AC = 5 EC,DG = GH = HE,AF = FG.請問三角形 FGH 與三角形 ABC 的面積比為何?  

   答： 1：9

 

S_FGH = a, S_GCE = 4a, S_CDE = ³/₂ SGCE = ³/₂ x 4a = 6a,

S_CDB = ⁵/₄ S_CDE = ⁵/₄ x 6a = ¹⁵/₂ a,

S_ABC = ⁶/₅ S_CDB = ⁶/₅ x ¹⁵/₂ a = 9a

11.    (PLK 2001)  ABCD 和OEFG 為兩個全等的正方形.O 是正方形 ABCD 的中心,若 ∠EOB =  22.5 ͦ, AB = 1 cm, 請問陰影的部份面積是多少?  

     答： 1/4


 

12.    (PLK 2001) 分別延長四邊形 ABCD 的四個邊使 AB = BA’,BC = CB’, CD = DC’,DA = AD’,如圖所示.如果四邊形的面積為 1 cm²,問四邊形A’B’C’D’的面積是多少?  

    答： 5

  如图：

      S_ABC = S_A’BC = S_A’B’C, 既 S_A’B’B = 2 S_ABC

      S_D’A’A = 2 S_ADB

      S_C’D’D = 2 S_ADC

      S_B’C’C = 2 S_BCD

  故, S_{A’B’C’D’} = S_A’B’B + S_D’A’A + S_C’D’D + S_B’C’C + S_ABCD

                  = 2 (S_ABC + S_ADB + S_ADC + S_BCD) + 1

                  = 2 x 2 S_ABCD + 1 = 5

13.    (PLK 2001) 有ㄧ個六邊形,它的每一個內角都是 120^o,其中四個相連的邊的長度分別是 5,7,4,6 單位.問這六邊形的另兩個邊的長度的和等於多少單位?

       答：11
      如图
              
  ABC 是正三角形,最後兩邊長度和是11.


14. (PLK 2001) 在平行四邊形 ABCD 中, P,Q,R,S 在 AB, BC, CD, DA 上,且AP = DR.如果平行四邊形 ABCD的面積是 16 cm²,請問四邊形 PQRS 的面積是多少?
             

        答： 8

      AD 與 PR 平行.
  S_PQRS = S_PRS + S_PQR = ½ S_APRD + ½ S_PBCR = ½ S_ABCD = 8

15.    (PLK 2002) 給定一個邊長 16 cm 的正方形,連接各邊的中點得第二個正方形, 連接第二個正方形各邊的中點得第三個正方形,繼續如此作圖直到得出第十個正方形為止.請問這十個正方形的面積總和是多少 cm² ?  
                      

答：511.5
陰影部份是第二個正方形.它的面積是第一個正方形的1/2.

十個正方形的面積總和 = 16²(1 + ½ + (½)² + … +(½)⁹)

                     = 16² x (1 –1/1024)

   (1 – ½)

                         = 16² x 2 x 1023/1024

                         = 1023/2

16. (PLK 2002)  一個半徑為 3 的圆盤沿著 20 cm x 25 cm 的矩形內側移動,如圖所示.請問這矩形中不被此圆盤掃過的區域的面積是多少 cm²? (取π = 3.14)
                      

    答：111.74
    如圖,未掃過的區域是陰影部份
                       

面積 = (25–6x2)(20-6x2)+[6x6-πx3x3]=111.74

 17.(PLK 2002) 下圖中, ABCD 與 CEFG 都是正方形.EF = 12 cm,試求三角形AEG 的面積.   

    答：72

      AC 與 GE 平行.h = ½ CF = ½ GE.

       SAEG = ½ x GE x h = ½ x GE x ½ x GE = ¼ x GE² = ¼ (12² + 12²) = 72

18. （PLK 2002) ABCDEF 是一個正六邊形.請問陰影部份的面積佔正六邊形 ABCDEF 的面積的幾分之幾?   

答： 1/3
        如图

                 正六邊形的每個內角都等於120^o.

       ∠FED = 120^o. 因 EF = ED, ∠EFD = ∠EDF = 30^o.得∠GFH = 60^o.

       EGM 是正三角形.得 DM = MG = GF.

 S_EFG = S_EDM = S_EGM = ¹/₉ S_EAC

       陰影的面積 = ⁶/₉ S_EAC

       S_ABCDEF = 12 S_EGM + 陰影的面積

              = 12 x ¹/₉ S_EAC + ⁶/₉ S_EAC

              = 2 S_EAC

      陰影的面積:S_ABCDEF = ⁶/₉:2 = 1:3

19. （PLK 2002) 在梯形 ABCD 中, AB 邊和 CD 邊都垂直於 BC 邊.對角線 AC 和 BD 交於點 E.若 AB = 9, BC = 12, CD = 16, 請問三角形 BEC 的面積為多少?

     答：

       ∆ABE 與 ∆CDE 相似.AE/CE = AB/CD = 9/16

       S_BEC = ¹⁶/₂₅ S_ABC = ¹⁶/₂₅ x ½ x 12 x 9 = 34 ¹⁴/₃₅

 

20. （PLK 2003) 在下圖矩形 ABCD 中,F 是邊 AB 的中點,BC = 3 BE, AD = 4 HD. 若矩形 ABCD 的面積為 300平方單位,請問陰影部份的面積是多少平方單位?

    答：143 ³/₄

    如图：

      S_DBE = ¹/₃ S_DCB = ¹/₃ x ³⁰⁰/₂ = 50

      S_DBF = ½ S_DAB = ½ x ³⁰⁰/₂ = 75

      S_DFH = ¼ S_DFA = ¼ x ½ S_DBA = ¹/₈ x ³⁰⁰/₂ = ⁷⁵/₄

  S_DHBE = 143 ³/₄

21. （PLK 2003) I, II, III 是三個大小不一的半圆.若 I, II, III 三圆的半徑的比為 3:4:5,且 III 的面積為 24 cm²,請問 I和 II 的面積總和是多少 cm² ?

   答： 24

   設 III 的半徑為 r,則 I, II 的半徑分別為 ³/₅ r, ⁴/₅ r.

   I, II 的面積和 = ½ π(³/₅ r)² + ½ π(⁴/₅ r)² = ½ πr² = 24

22. （PLK 2004) 在下圖中, AC 是圆O的直徑. ABC 為等腰直角三角形,其中∠C = 90^o. 以 B 為圆心, BC 為半徑作弧 CD 交線段 AB 於 D.若 AC = 10 cm,請問陰影部份的面積和是多少 cm² ? (取π = 3.14)

答：

            陰影面積和 = 圆的面積 + 扇形 BDC 面積 – S_ABC

                       = πx5² + ⁴⁵/₃₆₀ πx10² – ½ x10x10

                       = 75 + (45x300)/360 – 50

                       = 25 + 75/2

                       = 62.5

23. （PLK 2004) 下圖中,三角形 ABC 是直角三角形,分別以三角形的三邊為直徑畫半圆.若 AC = 13 cm,問三個半圆的面積總和是多少cm² ?  (取π = 3.14)

 

     陰影部份面積和 = ½ x π(AB/2)² + ½ x π(BC/2)² + ½ x π(BC/2)²

                    = ½ x π x ¼ [(AB)² + (BC)² + (BC)²]

                    = ¹/₈ x 3 x [(BC)² + (BC)²]

                    = ¹/₈ x 3 x 2 x 13 x 13

                    = 126.75

24. （PLK 2004) 下圖中每個小長方形都全等,並且每個小長方形的面積都等於 8 cm².  A, B, E, F 與 G 都是某個小長方形的頂點,C,D 線段 AB 上的點.若CD = ²/₃ AB,試求下圖中陰影部份的面積.  

     答： 48

            S_GEF = ¼ x [ ½ x 32] = 4

            S_DFEC = ½ x [EF + CD]xFB

                  = ½ x[EF x FB] + ½ x[CD x FB]

                  = ½ x 24 + ½ x ²/₃ x AB x FB

                  = 12 + ¹/₃ x 12 x 8

                  = 44

     陰影部份的面積 = 48

25. (PLK 2004) 下圖中,線段 AB 是圆 C 的直徑,在線段 AB 上作兩個半圆 APC 及 CQB.圆  PQR 分別與這三個半圆都相切.若 AB = 28 cm,試求圆 PQR 的半徑的長度.

       答： 14/3
       如下图：

            7² + (14 - r)² = (r + 7)²

            得r = 14/3

26. （PLK 2004) 在以下的平面圖中,四邊形 BCDE 是正方形,三角形 ABC 是直角三角形.若 AB = 3 cm, BC = 5 cm,試求三角形 ABE 的面積.

    答： 4.5
    如下图：

AB² – BF² = AF² = AC² – CF²

9 – BF² = 16 – (5 - BF)²

得  BF = 1.8

S_ABE = S_FBE = ½ x BE x BF = ½ x 5 x 1.8 = 4.5

27. （PLK 2005) 下圖中,BCDE 是平行四邊形,F,G 為線段 ED 上的點.已知 AC 垂直於 BC,BC = 8 cm, AC = 7 cm.若圖中陰影部份的面積總和比三角形 AFG 的面積大 12 cm² ,請問線段 CG 的長度是多少?   (5

答： 5

                  S_ABCD – S_ABC = 陰影部份的面積 – S_AFG = 12

                  8 x (7 – AG) – ½ x 8 x 7 = 12

 得 AG = 2, 故 CG = 5

28. （PLK 2005) 有一隻狗的狗屋是邊長為 1 cm 的正六邊形.這隻狗被一條長 2 m 的繩子栓住，繩子固定在六邊形的一個頂點，如圖。請問這隻狗在屋外能到達的地方的總面積是多少m² ？

 答： 3π
 狗會到達的區域如圖：

　　　其面積 = π x 2² x ²⁴⁰/₃₆₀ + 2 x π x 1² x ⁶⁰/₃₆₀ = 3π

29. （PLK 2005) 將一個正方形的四個角分別截去一個等腰直角三角形,最後剩下一個長寬不等的矩形.若截去的部份總面積為 200 cm²,且切除的三角形的直角邊邊長都是正整數,求矩形的面積.

 答： 56
 如圖:

            ½ x 2a² + ½ x 2b² = 200

            a2 + b2 = 200

      因 a,b 皆為正整數,得 a = 2, b = 14,矩形面積 = 2√2 x 14√2 = 56

30.將一副三角板如圖所示疊放在一起.若 AB = 14 cm,則陰影部份的面積是多少? 

 答：24.5
 AC = 7cm,陰影是等腰三角形


31. 如圖,長方形ABCD中放置14個形狀,大小相同的小長方形,求陰影部份的面積是多少? 

   答： 131¹/₉

 

        設長方形的寬為a,則長為 25 – 5a,如圖.可解得 a = ⁷/₃

32. 如圖所示,將兩個矩形疊在一起,其中小矩形的寬是2m,而A是大矩形其中一邊的中點.求陰影部份的面積.  

   答：5

   陰影部份是兩個等腰三角形