集合

1.（PLK 1999) 某校有20位教師,其中有10位教數學,8位教國語,6位教自然.已知有兩位教師同時教數學和國語,但沒有教師同時教國語和自然.請問有多少位教師同時教數學和自然?又有多少位教師只教數學?

    答：2，6

2. （PLK 2000) 某語言學校中,有72%的學生會說中文,65%的學生會說英文,而有10%的學生不會說中文及英文.請問有百分之幾的學生會說中文及英文?
 

 答：   可算出 x = 47

3. 若分母為1155,其最簡真分數共有幾個?
   答： 

1155 = 3 x 5 x 7 x 11, 分數 a/1155 是真分數,則 a 與 1155 互質.

    令 P_x 表示小於 1155 的正整數中,x 的倍數的個數.

    P₃ = [1155/3] = 385, P₁₅ = [1155/15] = 77, P₂₁ = [1155/21] = 55,

    P₃₃ = [1155/33] = 35,

    P₅ = [1155/5] = 231, P₃₅ = [1155/35] = 33, P₅₅ = [1155/55] = 21,

    P₇ = [1155/7] = 165, P₇₇ = [1155/77] = 15, P₁₀₅ = [1155/105] = 11,

    P₁₁ = [1155/11] = 105, P₁₆₅ = [1155/165] = 7, P₃₈₅ = [1155/385] = 3

   

與1155互質的數的個數

=1155–[P₃+P₅+P₇+P₁₁–P₁₅–P₂₁–P₃₃–P₃₅–P₅₅–P₇₇+P₁₀₅+P₁₆₅+P₃₈₅-P₁₁₅₅]

= 480

4.    王老師針對全班做春季旅行的意見調查,每位學生都寫一份調查表,從A,B,C三地中圈選出自己可以接受的地點(不限一地).王老師回收調查表後,各地點的統計票數如下:

地點	A	B	C
得票	14	15	17

王老師發現同一張票至少圈兩地的張數為

地點	A,B	A,C	B,C
張數	7	8	6

已知有5張三地都選,且每位學生都交回調查表.問該班共有幾位學生? 

答： 30


 

5.    父子倆在雪地上散步.父親在前,每步 80 cm.兒子在後,每步 60 cm,其中一些腳印與父親的重疊.在120 m 以內,父子至少留下多少個腳印?

    60 與 80 的最小公倍數是 240.父親的腳印是 80 的倍數,
    兒子的腳印是 80 的倍數, 
    兩人的腳印重跌在 240 的倍數.

留下腳印 {[12000/80]+1} + {[12000/60]+1} – {[12000/240]+1} = 301

6. 某次數學比賽共有 100 名學生參加.試題共有 4 道.結果恰有 90 名學答對第一題,恰有 80 名學生答對第二題, 恰有 70 名學生答對第三題, 恰有 60 名學生答對第四題.但沒有學生答對所有題目.請問共有多少名學生答對第三及第四題?

    答：

如圖:

        100 ≥ |A ∪ B| = |A| + |B| - |A∩B|

        100 ≥ 90 + 80 - |A∩B|

  故,    |A∩B| ≥ 70

  既,同時答對第一與第二題的學生人數至少70人.

  同理得, 同時答對第三與第四題的學生人數至少30人.

  因沒有學生答對所有題目,上述的70名學生與30名學生不會有交集.

  故,恰70人同時答對第一與第二題, 恰30人同時答對第三與第四題.

7. (PLK 2007) 針對 100 個人做問卷調查,有 28 人閱讀 A 雜誌; 30 人閱讀 B 雜誌; 42 人閱讀 C 雜誌;8 人同時閱讀 A 與 B 雜誌; 10 人同時閱讀 A 與 C 雜誌; 5 人同時閱讀 B 與 C 雜誌;3 人同時閱讀這三種雜誌.問有多少人沒有閱讀這三種雜誌的任何一種?

如圖:

    共 100 – 80 = 20人沒閱讀任何一種雜誌.