計數問題

1. (PLK 1997) 如圖所示,從A出發到B,要剛好用六線段走完(可走橫線段,直線段或斜線段),請問最多有多少種走法?

   答：
   如圖:

 

     若不走斜線,共有 6!/(3!3!) = 20 種走法.以下是加入斜線的走法,共6種:

      A→d→i→e→j→k→B,          A→d→i→e→j→n→B

      A→d→i→j→f→k→B,          A→d→i→e→f→k→B

      A→d→e→j→f→k→B,          A→a→e→j→f→k→B

     共有走法26種.

2. (PLK 1997) 在 1,2,3,………,1997 的所有正整數中,請問最多可以找到幾個數,使的取出這些數中,任何兩個數的和都不是 7 的倍數?


   答：595

在 1 到 1997 的整數中,

被 7 除餘餘 1 的共有 286 個

被 7 除餘餘 2 的共有 286 個

被 7 除餘餘 3 的共有 285 個

被 7 除餘餘 4 的共有 285 個

被 7 除餘餘 5 的共有 285 個

被 7 除餘餘 6 的共有 285 個

被 7 除餘餘 0 的共有 285 個

    選餘 1,2,3 的數及一個餘 0 的數,共 286 + 286 + 285 + 1 = 858

3. (PLK 1997) 用打字機把1到1997的所有整數都打在紙上,請問需按幾次”9”?
   答：

000,001,002,…………,099,

100,101,102,…………,199,

………………………………

………………………………

900,901,902,…………,999, 

共 1000 個數字,用了 3000 個數碼,每個數碼平均出現 300 次.故 9 出現 300 次.同裡,在 1000 到 1999 中,9 出現 300 次.

1000,1001,1002,…………,1099,

1100,1101,1102,…………,1199,

……………………………………

……………………………………

1900,1901,1902,…………,1999

扣掉 1998,1999,從 1 到 1997, 9 共出現 300 + 300 - 5 = 595 次.

4. (PLK 1998) 把許多球分到 1998 個箱子內,且所有箱子都被排成一列.如果從左邊數起第二個箱子有7個球,且四個連續的箱子球數的總和都是 30 個,請問最右邊的箱子有幾個球?


答：7

如圖:

 

7 + a + b + c + d = 30,故 6 號箱,10 號箱,14 號箱,……,有 7 個球.推得第 1998 個箱有 7 個球.

5. 如圖所示,一張等腰三角形紙片,底邊長 2011 cm,高為 3016.5 cm,.現沿底邊由下往上裁剪寬度均為 3 cm 的矩形紙條.已知剪得的紙條有一個是正方形,則這正方形是剪下的第幾條?

 答：1004
 如圖:

     3/2011 = (3016.5 - h)/3016.5,得h = (2008x3016.5)/2011

     這恰是第^h/₃ = ²⁰⁰⁸/₂₀₁₁ x ^3016.5/₃ = ²⁰⁰⁸/₂₀₁₁ x 1015.5 = ²⁰⁰⁸/₂ = 1004條

6. 如圖: B,C,D 依次是線段 AE 上 3 個點.若 AE = 4.29 cm,BD = 2.01 cm,則圖中以A,B,C,D,E 這五點所組成的所有線段(共 10 條)的長度和為多少?

   

    答：

    十條線段為 AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE

     長度和 = (AB + BC + CD + DE) + (AC + BD + CE) + AE + (AD + BE + BD)

                  = AE + AE + AE + (AB + BD) + (BD + DE) + BD

                  = 3AE + 3BD + (AB + DE)

                  = 3 x 4.29 + 3 x 2.01 + (AE – BD)

                  = 3 x 6.3 + 2.28

                  =21.18

7.    一個七位數,每一個位都是 1 或 2,而且沒有連續的兩個 1.這樣的七位數有多少個?

    答：

滿足這樣的條件的 1 位數有 2 個: 1,2

滿足這樣的條件的 2 位數有 3 個: 12,21,22

滿足這樣的條件的 3 位數有 5 個: 121,122,212,221,222

滿足這樣的條件的 4 位數有 8 個: 1212,1221,1222,2121,2122,2212,2221,2222

餘此類推, 滿足這樣的條件的 7 位數有 34 個


8. (PLK 2000) 以下是某城市的街道圖,從左下角的 P 走到右上角的 Q,最短的路共有多少條?

  

   答：

   只往右及往上走就是最短的路.最短路是P→A→B→C→Q或P→A→B→D→E→Q

        P → A 有 2 種走法

        A → B 有 1 種走法

        P → A → B 共 2 x 1 = 2 種走法

        B → C有 2 種走法

        C → Q有 3 種走法

      故,P → A → B → C → Q 共有 2 x 2 x 3 = 12 種走法

        B → D → E → Q 只有一種走法

故, P → A → B → D → E → Q 共有 2 x 1 = 2 種走法

      從左下角的 P 走到右上角的 Q,最短的路共有 12 + 2 = 14 條

9.    (PLK 1999) 請問由1,2,3,4,5,五個數碼所構成的所有五位數(不允許數碼重複)的和多少?

    答：

這種五位數共有120個.有120個萬位數,每個數碼平均出現24次.同裡,在千位數,百位數,十位數及個位數, 每個數碼平均出現24次.故,

         所有五位數和

= 24 x 15 x 10⁴ + 24 x 15 x 10³ + 24 x 15 x 10² + 24 x 15 x 10 + 24 x 15

= 360 x 11111

= 3999960

10.    (PLK 1999) 從一數列 {4,7,10,13,………,46} 中任取三個相異的數,請問其和能表示成多少個不同的整數?

    答：

        觀察到任選三個數的和必是3的倍數. 
    最小是 4 + 7 + 10 = 21,最大是40 + 43 + 46 = 129.
    共有37個整數.

11.    (PLK 2000) 小於 1000 的正整數中,請問有多少個至少含一個數碼 2,但不含數碼 3 ?

    答：

分兩位數與三位數了種情況計算.

(1)兩位數的有 2,12,20,21,22,24,25,26,27,28,29,42,52,62,72,82,92 共 17 個

(2)三位數計算如下:

百位是 2 者,個位有 9 種選法,十位有 9 種選法,這共有 9 x 9 = 81 個.

百位數不是 2 時,有 7 種選法,任一種選法,其後續兩位數必需含 2,如同上面兩位數共有 17 種選法,得,共有 7 x 17 = 119 個這樣的數.

        由(1)與(2)知,共有 17 + 81 + 119 = 217個.

 

12.    (PLK 2000) 利用奇數數碼來組成三位數.請問這些三位數的總和是多少?

    答：

共組成 5 x 5 x 5 = 125 個三位數,百位,個位,十位各用 125 個數碼,且每個數碼在百位,十位,個位都平均出現. 

總和為 (1 + 3 + 5 + 7 + 9) x 25 x 100 + 25 x 25 x 10 + 25 x 25 = 69375

13. (PLK 2000) 利用紅,黃,藍,綠四種顏色塗滿下圖各區域,但要求相鄰區域不能塗相同顏色.請問共有多少種塗色的方法?

    答： 108



14. (PLK 2001) 有一隻小蟲延著下圖的路徑從 A 走到 B.它只能向右或向下爬.請問共有多少種不同的走法?

   答： 101



 

15.    (PLK 1998) 下圖分別表示”三角形數”與”正方形數”的數列:

  

     如果兩個連續的三角數的差與兩個連續的正方形數的差都是11,問這四個數的和是多少?

     三角形數 = 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4, ……,連續兩個三角形數的差為

       n(n+1)/2 – (n-1)n/2 = n,知 n = 11.這兩個三角形數是55,66.

     正方形數 = 2², 3², 4², ……, 連續兩個正方形數的差為

       n²-(n-1)² = 2n - 1,知 n = 6.這兩個正方形數是25,36.

       這四個數的和是182

 

16.    (PLK 1998) 將所有型如 ^m/_n的分數排成一行,其中m,n都是自然數,且滿足下列規定:

(a)  若m₁ x n₁ < m₂ x n₂,則 m₁/n₁ 必需排在 m₂/n₂ 的前面;

(b)  若m₁ x n₁ = m₂ x n₂,且 n₁ < n₂ ,則 m₁/n₁ 也必需排在m₂/n₂的前面

請問¹⁹⁹⁸/₁與¹/₁₉₉₈之間有多少個分數?

        答： 
        因 1998 x 1 = 1 x 1998,但1998 > 1,由(b)知, ¹/₁₉₉₈排在¹⁹⁹⁸/₁的前面.

在這兩個分數之間的分數^m/_n, m x n = 1998.

1998 = 2 x 3³ x 37, 共有(1+1)(3+1)(1+1)=16個正因數.任兩個可配成一個分數^m/_n.故在¹/₁₉₉₈與¹⁹⁹⁸/₁之間,共有14個分數.

 

17.    (PLK 1998) 在下列數列中,第 1998 個數是什麼?

1,-2,2,-3,3,-3,4,-4,4,-4,5,-5,5,-5,5,-6,6,-6,6,-6,6,…………,

答： 

        數碼 n 出現時,數列共有 n(n+1)/2 項.若 n = 62,則 n(n+1)/2 = 1953, 
    故此數列應是…………………,-63,63,-63,63,…………,-63. 
    第 1998 個數是第 1998-1953 = 35 個“63”,應是-63.

18.    (PLK 1998) 從 u 一本不超過 500 頁的書中撕下一張,剩下的頁數總和為 19905 ,請問撕下的這一張的兩面頁數的總和是多少?

設撕下的頁兩面頁數為 n,n+1, n ≤ 500

則全書共19905 + n + n + 1 = 19906 + 2n頁.可知全書有偶數多頁.

設全書有t面.頁數總和為t(t+1)/2. 得

           t(t+1)/2 = 19906 + 2n ≥ 19906 + 2x1 = 19908

且               t(t+1)/2 = 19906 + 2n ≤ 19906 + 2x500 = 20096

可得 t = 200,201,202 或 203

若 t = 200, 則 n = ½ (½ x 200 x201 - 19906) = 97

若 t = 201, 202,此時 t(t+1)/2 為奇數,矛盾.

若 t = 203, 則 n = ½ (½ x 203 x 204 - 19906) = 400 > 203 矛盾.

        故,被撕的那頁頁數和是 97 + 98 = 195

19.    (PLK 1999) 有一個關於畢德哥拉斯的故事是說:他有一次處罰學生,要他由A開始,來回數戴安娜神殿的七根柱子,這七根柱子分別標上A,B,C,D,E,F,G,一直數到第1999根柱為止.請問這根柱子的標號是什麼?

     答：
     第一行數七根柱子,其他行都數六根柱子.(1999-7)÷6=332. 
     故第 1999 根柱子恰是數第 333   行得最後一根柱子. 
     這一行由左數到右,得最後一根柱子標號 G.

20.    比1大的整數像下圖排列:

  請問1000出現在哪行? 
  答：      (由左算起第二行)

21.    在 1000 與 9999 之間,有多少個四位數,其各位數碼不同,且首尾兩個數碼相差 2?

    答：

若首位為 1,則末位為 3,中間兩位有 8 x 7 = 56 種選法.

若首位為 2,則末位為 4 或 0,中間兩位有 8 x 7 = 56種選法,共 2 x 56 = 112個數.

若首位為 3,則末位為 1 或 5,中間兩位有 8 x 7 = 56種選法. 共 2 x 56 = 112 個數.

若首位為 4,則末位為 2 或 6,中間兩位有 8 x 7 = 56種選法. 共2 x 56 = 112個數.

若首位為 5,則末位為 3 或 7,中間兩位有 8 x 7 = 56種選法. 共2 x 56 = 112個數.

若首位為 6,則末位為 4 或 8,中間兩位有 8 x 7 = 56種選法. 共2 x 56 = 112個數.

若首位為 7,則末位為 5 或 9,中間兩位有 8 x 7 = 56種選法. 共2 x 56 = 112個數.

若首位為 8,則末位為 6,中間兩位有 8 x 7 = 56 種選法.

若首位為 9,則末位為 7,中間兩位有 8 x 7 = 56 種選法.

共有 112 x 6 + 56 x 3 = 840 個這樣的四位數.

22.    在一次宴會上,每個男生都跟除了自己配偶以外的人握手,但婦女之間不互相握手.如果 13 對夫妻參加宴會,問這 26 人共握手幾次?

    答：

男生與男生共握手 (13 x 12)/2 = 78 次

男生與女生共握手 13 x 12 = 156 次

握手次數共 78 + 156 =234 次

23.    (PLK 2006)  

                   1 + 2 = 3

               4 + 5 + 6 = 7 + 8

          9 + 10 +11 +12 = 13 + 14 + 15

                   ………………

                   ………………

      依此型態下去,第 80 列的最後數字是多少? (第三列的最後數字是 15 )

      答：

      第一列有3個數字;第二列有 5 個數字;餘此類推,知 80 列共有

       3 + 5 + 7 + 9 + …… + (3 + 79 x 2) = 164 x 80/2 = 6560.

       第 80 列的最後數字是 6560.

24.    (PLK 2007) 小亞有 10 顆完全相同的糖果.他每次吃 1 或 2 顆糖果,直到把糖果吃完為止.請問他有多少種不同的組和方法來吃光這些糖果?

    答：

設他有 a_k 種組合方法吃完 k 顆糖果.

他吃第 k + 2 顆糖果,有下列兩種可能:

(1)先吃 k 顆再吃兩顆,這樣有 a_k 種組合方法

(2)先吃 k + 1 顆再吃 1 顆,這樣有 a_k+1 種組合方法

故,a_k+2 = a_k+1 + a_k

    a₁ = 1, a₂ = 2, a₃ = 3, a₄ = 5, a₅ = 8, a₆ = 13, a₇ = 21, a₈ = 34, 
    a₉ = 55, a₁₀ = 89

25.    (PLK 2006) 有超過 50 位小孩圍成一個圈圈.他門依照順時針方向從 1 開始不斷的順序報數.若某位小孩報的 2 及 2006 兩個數,請問至少有幾個小孩?

    答：

報 2 及 2006 的小孩前面那位報 1 及 2005,再前一位報 2004.可知報完 2004 後,就輪到報 1 的小孩.但這可能已輪過數圈,故小孩的數目是 2004 的因數.

2004 = 2² x 3 x 167,2² x 3 = 12 < 50,知小孩數目至少有167.

26.(PLK 2006) 以下圖型是由七條線段所構成.請問此圖中有多少個三角形?

 答： 18

27.    (PLK 2002) 像 531,543 這樣的數,其數碼具有嚴格遞減的性質,也就是說,這樣的數它的每個數碼都比它左邊的數碼小.(注意到 522 這個數的數碼不具有嚴格遞剪的性質.)請問從 100 到 599 (含 100 與 599 ) 共有多少個整數其數碼具有嚴格遞減的性質?

從 1 到 199 不會有這樣的整數.

從 200 到 299,這樣的整數有 210

從 300 到 399,這樣的整數有 310,320,321

從 400 到 499,這樣的整數有 410,420,421,430,431,432

從 500 到 599,這樣的整數有 510,520,521,530,531,532,540,541,542,543

共 20 個.

(從0,1,2,3,4,5任選3個數,共20種選法,每種選法都可拼成一個這樣的數.)

28.    (PLK 2006) 請問 6²⁰⁰² 的最後兩位數碼是什麼?

    6² 的最後兩位數碼是 36

    6³ 的最後兩位數碼是 16

    6⁴ 的最後兩位數碼是 96

    6⁵的最後兩位數碼是 76

    6⁶ 的最後兩位數碼是 56

    6⁷ 的最後兩位數碼是 36

    ……………………………

    6ⁿ 的最後兩位數碼是 36,16,96,76,56 順序重覆出現.

(2002 - 1) ÷ 5 = 400 余 1，6²⁰⁰² 最後兩位數碼是 36